"Integración de los grupos

Question

Recientemente me topé con respecto a este post de la mina hiperbólico solución a la ecuación cúbica para una raíz real dada por $$ t=-2\sqrt \frac {p}{3} \sinh \left( \frac {1}{3} \sinh^{-1} \left( \frac {3t}{2} \sqrt \frac {3}{p} \right) \right) $$ Intuitivamente he tratado de encontrar el relacionado definitivamente integral, $$ I=\int^{1}_{-1} \frac {1}{3} \sinh^{-1} \left( \frac {3\sqrt 3}{2} (1-t^2) \right) dt $$ Por desgracia, no había forma cerrada de la solución. Sin embargo, la Integral es increíblemente cerca de $\sqrt 2$. $$ I=0.8285267994716327, \frac {I}{2} +1=1.4142633998 $$ Para investigar más, he intentado un heurístico de expansión de la integral en fracciones Egipcias. A pesar de que recibe problemático, después de la 4ª plazo, Los primeros cuatro términos son, $$ \frac {I}{2} +1 = 1+ \frac {1}{2} - \frac {1}{12}-\frac {1}{416} $$ Aquí los denominadores puede ser dadapor, $$ a_n = \sum_{k=0}^{n} { }^nC_k (2^n - 2^kq)^{n-k}p^k , q=\sqrt 2 $$ (Del mismo modo, los denominadores en la expansión de $\sqrt 2$ están relacionados con los números de Pell, lo que me hace creer que mi integral también es algo relacionado con los números de $a_n$.) Por lo tanto, estoy buscando una forma cerrada o, posiblemente, una rápida convergencia de series infinitas solución a la integral, acaba de cualquiera de estos. Gracias por la ayuda.

La integral indefinida

Para $t=\sin z$ y aplicando integración por partes, tengo otra, algo más simple, integral indefinida, $$ \frac {\sen z}{3} \sinh^{-1} \left( \frac {3\sqrt 3}{2} \cos^2 z \right) + 2\sqrt 3 \int \frac {\sin^2 z \cos z dz}{\sqrt {27\cos^4 z + 4}} $$ A continuación, de nuevo estoy atascado. Por otra parte, esta expresión se asegura de que mi de la integral definida es una mala.

Actualización

Cerrada de la solución en términos de incompleta de las integrales elípticas con argumentos complejos, es dado por un usuario en la sección de comentarios, $$ \frac {4}{9} (9+2\sqrt 3 i) \left[ F \left( \sin^{-1} \sqrt {\frac {3}{31}(9+2\sqrt 3 i)} ; \frac {1}{31} (23-12\sqrt 3 i) \right)- E \left( \sin^{-1} \sqrt {\frac {3}{31}(9+2\sqrt 3 i)} ; \frac {1}{31} (23-12\sqrt 3 i) \right) \right] $$ Sin embargo, todavía me estoy preguntando cómo transformar a éste en un número real, especialmente el $a_n$ conexión de la integral es fascinante mi mente.

Answer 1

Hemos de simetría que $$I=\frac23\int_0^1\sinh^{-1}\left[\frac{3\sqrt3}2(1-x^2)\right]dx$$ Entonces definimos $$f(a)=\int_0^1\sinh^{-1}[a(1-x^2)]dx$$ A continuación, recordamos que $$\sinh^{-1}(x)=x\,_2F_1\left(\frac12,\frac12;\frac32;-x^2\right)=\sum_{n\geq0}(-1)^n\frac{(1/2)_n^2}{(3/2)_n}\frac{x^{2n+1}}{n!}$$ así $$\sinh^{-1}[a(1-x^2)]=a(1-x^2)\,_2F_1\left(\frac12,\frac12;\frac32;-a^2(1-x^2)^2\right)\\ =\sum_{n\geq0}(-1)^n\frac{a^{2n+1}}{n!}\frac{(1/2)_n^2}{(3/2)_n}(1-x^2)^{2n+1}$$ así $$f(a)=\sum_{n\geq0}(-1)^n\frac{a^{2n+1}}{n!}\frac{(1/2)_n^2}{(3/2)_n}\int_0^1(1-x^2)^{2n+1}dx$$ Para esta integral, utilizamos $x=\sin(t)$: $$j_n=\int_0^1(1-x^2)^{2n+1}dx=\int_0^{\pi/2}\cos(t)^{4n+3}dt$$ Dejo como un reto para demostrar que $$\int_0^{\pi/2}\sin(t)^a\cos(t)^bdt=\frac{\Gamma(\frac{a+1}2)\Gamma(\frac{b+1}2)}{2\Gamma(\frac{a+b}2+1)}$$ la elección de $b=4n+3$, $a=0$ hemos $$j_n=\frac{\Gamma(1/2)\Gamma(2n+2)}{2\Gamma(2n+5/2)}$$ A continuación, la definición de $$t_n=\frac{(1/2)_n^2}{(3/2)_n}j_n$$ tenemos $$\frac{t_{n+1}}{t_n}=\frac{(n+\frac12)^2(n+1)}{(n+\frac74)(n+\frac54)}$$ Que da $$f(a)=a\,_3F_2\left(\frac12,\frac12,1;\frac74,\frac54;-a^2\right)$$ Y desde $I=\frac23f(3\sqrt3/2)$ tenemos (suponiendo que no he cometido errores), $$I=\sqrt3\,_3F_2\left(\frac12,\frac12,1;\frac74,\frac54;-\frac{27}4\right)$$