Integral de$\sin^5x\cdot\cos^{14}x$

Question

Yo no entiendo lo que estoy haciendo mal. Yo estoy haciendo exactamente como fue enseñado a mí, pero me estoy poniendo de una manera totalmente diferente respuesta de la respuesta correcta.

$$\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^5(x)\cos^{14}(x)dx$$

Mi trabajo:

$$\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}[\sin^2(x)]^2\cos^{14}(x)\sin(x)dx$$

$$\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}[1-\cos^2(x)]^2\cos^{14}(x)\sin(x)dx$$

sustituto $\cos(x)$ para $u$.
$du=\sin(x)dx$

$$\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}(1-u^2)^2u^{14}du$$

$$\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}(1-2u+u^4)u^{14}du$$

$$\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}u^{14}-2u^{16}+u^{18}du$$

$$\frac{1}{15}u^{15}-\frac{2}{17}u^{17}+\frac{1}{19}u^{19}\Bigg|_{-1}^0=$$

$$\frac{1}{15}\cos^{15}\left(\frac{\pi}{2}\right)-\frac{2}{17}\cos^{17}\left(\frac{\pi}{2}\right)+\frac{1}{19}\cos^{19}\left(\frac{\pi}{2}\right) - \left(\frac{1}{15}\cos^{15}(0)-\frac{2}{17}\cos^{17}(0)+\frac{1}{19}\cos^{19}(0)\right)$$

$$0-0+0-(1-1+1)$$

$$-1+1-1=-1$$

La respuesta correcta es $\frac{8}{4845}$

¿De dónde me salen mal?

Answer 1

De hecho, es $u=-\cos x$ y por sustitución obtenemos $$\frac{1}{15}u^{15}-\frac{2}{17}u^{17}+\frac{1}{19}u^{19}\Bigg|_{-1}^0={1\over 15}-{2\over 17}+{1\over 19}={8\over 4845}$ $ Usted donde solo está mal en la sustitución ...

Answer 2

$$u = \cos x$ $ $$du = -\sin x \,dx$ $

(y no $du = \sin x \,dx$ , como escribiste).

Answer 3

Hay otros errores en su cálculo. Pero se anulan entre sí. Si realiza una sustitución y tiene límites de integración, también tendrá que transformar estos límites. Entonces, si la sustitución es $$u=\cos(x)$ $, entonces el límite de integración cambia a

PS