Sea$(G,\odot)$ un grupo finito con el elemento de identidad$e$. Demuestre que para cada$g \in G$, hay$k \in \Bbb N^+$ tal que$g^k= e$

Question

Este es el Ejercicio $7.$ a partir de la Sección 7: Grupos y Homomorphisms, Capítulo 1: de la Fundación, el libro de texto de Análisis I por Herbert Amann y Joachim Escher.

Ejercicio $7$: Vamos a $(G,\odot)$ ser finito grupo con elemento de identidad $e$. Demostrar que para cada una de las $g \in G$, no es $k \in \Bbb N^+$ tal que $g^k := \underbrace{g \odot \cdots \odot g}_{k \text{ times}} = e$.

Mi intento:

Supongamos que, al contrario, $g^k \neq e$ para todos los $k > 0$. A continuación, $g^n \neq g^{n+p}$ para todos los $p>0$. Si no, $g^n = g^{n+p}$ para algunos $p>0$ e lo $(g^{-1})^n \odot g^n = (g^{-1})^n \odot g^{n+p}$. De ello se desprende que $e = g^p$, lo cual es una contradicción. Así que el conjunto $\{g^k \mid k \in \Bbb N\}$ es infinito. Esto contradice el hecho de que $G$ es finito.

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Al final de este ejercicio, los autores dan un toque de Ejercicio $1.$ donde

Ejercicio $1$: Vamos a $N$ ser un subgrupo de un grupo finito $(G,\odot)$. Mostrar que $|G| = |N| \cdot |G/N|$ donde $G/N$ es el conjunto de la izquierda cosets de $G$ modulo $N$.

Mis preguntas:

1. ¿Mi intento de buscar multa o contener vacíos o defectos?

2. Cómo utilizar el Ejercicio $1$ hacer Ejercicio $7$ según lo sugerido por los autores?

Gracias por su ayuda!

Answer 1

La prueba está bien. Pero aquí hay algunas pruebas alternas te puede gustar:

Prueba-yo: Vamos, $g(\ne e)\in G$ desde $G$ es un grupo de por lo $g^n\in G$ para todos los $n\in\Bbb N$. Ahora desde $G$ es finito así que para cualquiera de los dos distintos $m,n$ tenemos, $g^m=g^n\implies g^{m-n}=e$ establecer $t=m-n$ tenemos $g^t=e$. Así, $n>0$ existe.

Prueba II: Cada finito cíclico grupo $(G,\circ)\cong_f \Bbb (Z_n,+)$ donde $|G|=n$ e $f$ es el isomorfismo. Desde siempre existe $m>0$ s.t. $mx=0,\forall x\in \Bbb Z_n$ debido a isomorfismo $g^m=e$ donde $f(g)=x$, para todos los $g\in G$.

Prueba III:[el Uso de Excr. 1] Vamos, $g\in G\setminus N$ es decir $g\notin N$ y supongamos que $g^n\ne e$ para todos los $n>0$ entonces obviamente $g^n\ne g^m$ para todos los $n\ne m$. Así que, a continuación, el orden/la cardinalidad del espacio cociente será infinito por lo tanto, $|G/N||N|\ne |G|$ contradice el teorema 1 para grupos finitos.

Espero que esto funcione.