Los grupos formales de Lubin-Tate son$p$ - grupos divisibles

Question

Estoy tratando de entender cómo comprobar si un determinado grupo formal es $p$-divisible. Deje $A$ ser un completo noetherian anillo local con ideal maximal $\mathfrak{m}$ y residuos del campo de $k$ de característica $p$ y deje $F \in A[[X,Y]]$ ser un grupo formal de la ley.

Hay un buen criterio para ver si el mapa $$[p]^* \colon A[[X]] \to A[[X]], f(X) \mapsto f([p](X))$$ is injective and makes $A[[X]]$ into a finite free module over $A[[X]]$? (This is the definition of $F$ being $p$-divisible.)

Mi principal caso de interés es al $A=\mathfrak{o}$ es el anillo de enteros en un número finito de extensión de $\mathbb Q_p$. Lubin la respuesta a la pregunta ¿Cómo es el $p$-ádico Tate módulo de un grupo formal definido? parece dar a entender que

$$F \,\,\text{ is } p\text{ -divisible } \iff [p] \text{ mod } \pi \neq 0 \text{ in } k[[X]]$$

donde $\pi$ denota una uniformizer de $\mathfrak o$. ¿Es esto cierto? Me gustaría mucho ser agradecido para una prueba de ello!

Answer 1

Probablemente hay varias pruebas de esto, y casi me atrevería a hacer una apuesta que la más pulida de estos dispondría de la materia con el derecho de apelación a Nakayama del Lexema. Pero permítanme ser histórico y decirte cómo me ha mirado.

Estoy suponiendo que eres consciente de que siempre estamos tratando con grupos formales que no son isomorfos a los aditivos de grupo formal $x+y$ sobre $k$. Y estoy suponiendo que usted sabe el resultado (debido a Lazard, supongo) que el primer coeficiente distinto de cero de a$[p]_{\tilde F}$ (donde $\tilde F$ es el grupo formal de más de $k$) debe ser en grado $p^h$, y que esta $h$ es llamado la altura de $F$.

Esto significa que la primera unidad del coeficiente de $[p]_F$ aparece en grado $p^h$.

Deje $f=[p]$. Ahora bien, dentro de $A[[x]]$ tenemos la sub-anillo $A[[f]]$, y creo que se puede ver fácilmente que $A[[f]]\cong A[[T]]$, la potencia de la serie anillo en uno indeterminado de más de $A$. Así que, para evitar confusiones, voy a nombre de $f(x)=T$, por lo que tenemos $A[[T]]\subset A[[x]]$, y estoy a punto de mostrar que el gran anillo es gratuita a través de $A[[T]]$. Considere la posibilidad de $A[[T]][[X]]\big/\bigl(f(X)-T\bigr)$, que creo que se ve es isomorfo a $A[[x]]$ través $X\mapsto x$. Pero ahora me llamaría en Weierstrass Preparación, en esta forma: Vamos a $\mathcal O$ ser un anillo local, y vamos a $\phi(X)\in\mathcal O[[X]]$ tienen la primera unidad de coeficiente de grado de la $n$. Entonces no es, únicamente, un par de $(g,U)$ donde $g\in\mathcal O[X]$, monic polinomio de grado $n$; y $U\in\mathcal O[[X]]^\times$, la potencia de la serie con término constante de una unidad de $\mathcal O$, de tal manera que $\phi=gU$.

Y por supuesto que lo hace por nosotros, dejando $\phi=f(X)-T$ anterior, y $\mathcal O=A[[T]]$.

Si usted tiene más preguntas, no dude en preguntar. Como para W-Prep, yo reclamo que cada matemático que se sienta a demostrar que dará una calidad diferentes. Definitivamente no es tan profundo que un hecho como Hensel del Lexema.