¿$ \sum_{i=1}^n n^{k_i} $ Determina$(k_1,...,k_n)$?

Question

Deje $k_1,...,k_n\in\mathbb{N}$. ¿La suma de la energía $$ \sum_{i=1}^n n^{k_i} $$ únicamente determina el $n$-tupla $(k_1,...,k_n)$?

Observación: En el caso de $n=2$, esto es cierto. Sin embargo, cuando se trata de generalizar a un tamaño arbitrario suma, no se pueden sostener. Por ejemplo, $$ 2^0+2^0+2^2=2^1+2^1+2^1. $$ Pensé entonces en una suma fija de tamaño, igual a la que se considera la base, pero no sé exactamente cómo argumentar o construir esta bijection. La motivación detrás de esta pregunta viene de intentar determinar el $n$-tupla $(k_1,...,k_n)$ a partir de la suma $$ \sum_{i=1}^n g(k_i), $$ donde $g$ es algunos edificable de la función.

Answer 1

Obviamente, usted sólo puede esperar para determinar el $n$-tupla hasta permutación, y que sólo puede aspirar a determinar, incluso, que cuando $n>1$. Así que voy a suponer que es lo que quieres. Y como se puede ver, no funciona, en general, cuando el número de $k_i$ no es igual a la base del exponente.

Entonces la respuesta es sí, si usted sabe $n$. Es un corolario de la singularidad de la base-$n$ representaciones. Usted puede leer los $k_i$ de los dígitos del número de la $s = \sum_{i=1}^n n^{k_i}$ escrito base $n$. El $j^{\small\text{th}}$ dígitos ($j=0$ es el primer dígito) le dirá cuántas $k_i$ son iguales a $j$, a menos de que no es exactamente una $1$ y no otro distinto de cero dígitos en $s$, en cuyo caso todos los $k_i$ son iguales a $j-1$ donde $j$ es el lugar donde la $1$ se produce.