Las operaciones de álgebra como transformaciones naturales.

Question

Disculpas de antemano si el siguiente hace poco o ningún sentido, pero aquí va ..

Denotar $m_G : G\times G\to G$ la multiplicación de un grupo de $G$. ¿Tiene sentido pensar en el mapa de $m_G$ como algún tipo de morfismos en una (por el momento no especificado) categoría?

Aún más, podríamos pensar en la familia $m_G$ (indexados por la clase de grupos) como una transformación natural de unos u otros functors?

Vamos a llamar a nuestro misterio categorías $\mathcal A$ e $\mathcal B$ , con el misterio functors $X,Y :\mathcal A\to\mathcal B$ tal que la transformación natural condición se tiene: $$ m_HX(f) = Y(f)m_G $$ donde $f$ es una de morfismos en $\mathcal A$ e $G,H$ son grupos.

Para que esto tenga sentido, necesitamos una categoría de objetos de $G\times G$ e $G$. Así, ampliamos (?) la categoría de grupos por $\mathcal B_0 := \mbox{Grp}_0 \cup \{G\times G \mid G\in\mbox{Grp}_0\}$. Morfismos en " separar los componentes permanecen como están en $\mbox{Grp}$ e $\mbox{Grp}\times\mbox{Grp}$ respectivamente. No habría morfismos de la forma $G\to H\times H$y $$\mathcal B(G\times G,H) := \{\varphi m_G \mid \varphi \in \mbox{Hom}(G,H)\} $$ donde para cada $x,y\in G$ $\varphi m_G (x,y) := \varphi (xy) = \varphi (x)\varphi (y) =: m_H(\varphi,\varphi)(x,y)$. Las identidades se $1_G$ o $(1_G,1_G)$ dependiendo de la componente y de la composición de los morfismos iba a suceder de forma natural.

1. Se garantiza $(A,B) \neq (A',B') \implies \mathcal B(A,B)\cap\mathcal B(A',B') =\emptyset, A,A',B,B'\in\mathcal B_0$?
2. Tomando $\mathcal A = \mbox{Grp}$ con $X :\mathcal A\to\mathcal B$ dado que $X(G) = G\times G$ , y para todos los morfismos $f:G\to H$, $X(f) = (f,f)$. Poner $Y:\mathcal A\to\mathcal B$ como la incrustación, entonces tendríamos $m_G$ como una transformación natural $X\Rightarrow Y$.

Omito el control de rutina aquí, para que no sean importantes para esta discusión. Estoy interesada en saber si esta idea de considerar a las familias de las operaciones naturales de las transformaciones es, digamos, la bien fundada

Cuestionario.

1. Sería un enfoque de ser el único? ¿De qué otra manera (si en absoluto) respecto a la familia $m_G$ como una transformación natural?
2. Es esta una más cosa general en álgebra universal? Dada una clase de álgebras con ciertas operaciones de varios arities, podría consideramos que cada familia de operaciones como una transformación natural? (Por ejemplo, la inversa de la operación de la unidad o elemento de la operación de grupos)

Answer 1

Deje $\DeclareMathOperator\Set{Set}\Set$ denotar la categoría de conjuntos y $\DeclareMathOperator\Grp{Grp}\Grp$ denotar la categoría de grupos. Deje $\Upsilon:\Grp\to\Set$ denotar el olvido functor y $\Delta:\Set\to\Set$ ser la diagonal functor $\Delta(X)=X\times X$.

Entonces usted está buscando una transformación natural $\mu:\Delta\circ\Upsilon\to\Upsilon$. Si $X$ es un grupo, entonces la $\Upsilon(X)$ es su conjunto subyacente. Para cada grupo de $X$ deje $\mu_X:(\Delta\circ\Upsilon)(X)\to\Upsilon(X)$ ser su composición ley. Si $f:X\to Y$ es un grupo homomorphism, entonces tenemos un diagrama conmutativo$\require{AMScd}$: \begin{CD} \Upsilon(X)\times\Upsilon(X)@=(\Delta\circ\Upsilon)(X)@>\mu_X>>\Upsilon(X)\\ @V\Upsilon(f)\times\Upsilon(f)VV@V(\Delta\circ\Upsilon)(f)VV@VV\Upsilon(f)V\\ \Upsilon(Y)\times\Upsilon(Y)@=(\Delta\circ\Upsilon)(Y)@>>\mu_Y >\Upsilon(Y) \end{CD} lo que demuestra la naturalidad de las $\mu_X$.