¿Por qué es el nudo del grupo de el trébol isomorfo al grupo de 3-trenzas?

Question

Me disculpo de antemano por la vaguedad de esta pregunta, pero no he sido capaz de encontrar mucha información sobre el tema y se han hecho muy poco progreso en el mío propio.

Estoy tratando de entender por qué el nudo grupo $\pi_1 (S^3 - K)$ de el trébol es isomorfo a Artin 3 strand braid grupo $B_3$. Sé que el Wirtinger presentación de $\pi_1 (S^3 - K)$ da Artin la presentación de $B_3$ directamente, pero estaba esperando que alguien podía pintar más topológico de la imagen que se lleva a homotopy clases directamente de las trenzas (o viceversa) sin el uso de presentaciones de grupo como el hombre medio. Gracias de antemano.

Edit: Gracias por las respuestas chicos. Yo debería haber mencionado que $S^3-K$ es diffeomorphic para el espacio de $SL(2,\mathbb{R}) / SL(2,\mathbb{Z})$ (John Baez dice así en su blog). Es posible que el disco con 3 agujeros es una deformación retractarse de $SL(2,\mathbb{R}) / SL(2,\mathbb{Z})$ pero no sé mucho acerca de este espacio. Voy a actualizar si encuentro la respuesta a mí mismo.

Answer 1

La universalización de la cobertura de el trébol complemento es también la universalización de la cobertura de un disco con tres agujeros en ella, la cruz de un intervalo. Ambos se obtienen a partir de mosaicos de $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ por prismas que son ideales triángulos cruz intervalos. La única diferencia es la forma en que los dos grupos de actuar en este mosaico. Cada uno toma dos adyacentes prismas como su fundamental de dominio. Así que los dos están muy estrechamente relacionados.