Pregunta suave: ¿Se pueden definir "invariantes" siempre sin hacer una elección "específica"?

Question

Tengo miedo de que yo supiera muy poco en la categoría de teoría para formular esta pregunta, más precisamente, que por qué es sólo un suave pregunta:

Dar algún objeto matemático $A$, a menudo se pueden asignar a $A$ numérico cantidad $F(A) \in \mathbb R$ cuyo valor específico a menudo puede arrojar luz sobre aspectos importantes de la $A$ en retorno. Ejemplos básicos incluyen:

1) El determinante de un endomorfismo $f: V \to V$ en un finito-dimensional $\mathbb R$-vectorspace $V$,

2) La traza de un endomorfismo $f: V \to V$ en un finito-dimensional $\mathbb R$-vectorspace $V$,

3) El de Euler characterstic en un espacio topológico $X$ admisión de un número finito de $CW$-estructura.

En cada caso, la cantidad es generalmente definido en un primer momento con la ayuda de una determinada elección. En los dos primeros casos, se elige manera arbitraria $B$ de $V$ y calcula las cantidades correspondientes para el cuadrado de la matriz. En el tercer caso, se elige un número finito de $CW$-estructura y calcula la alternancia suma de los números de las células.

Una parte importante de por qué estas cantidades resultan ser tan interesante es, por supuesto, que son independientes de las decisiones tomadas (que es la razón por la que son llamados también invariantes). En los dos primeros casos, por lo general uno se entera de esta observando que similar matrices tienen el mismo determinante y la traza. Sólo más tarde, después de llegar a conocer un poco en dos espacios y exterior de álgebra, uno descubre que no existen en la realidad de base libre de las definiciones de estas dos cantidades.

Por lo general uno aprende acerca de la independencia de la elección en el tercer caso por ser muestra de un equivalente, $CW$libre de definición (con la ayuda de homología singular).

En los tres casos, una numérica de la cantidad de un objeto es

a) en primer lugar se define con la ayuda de una elección, entonces

b) que se muestra a ser independiente de la elección, y por último,

c) es equivalente definido sin el uso de una elección.

Mi (vagos) pregunta ahora va como sigue:

Si una cantidad numérica de un objeto se define mediante una elección concreta y, dentro de un contexto-dependiente del reino de posibles opciones, es un a posteriori de la muestra para ser independiente de la elección, puede que la misma cantidad de siempre ser definido sin esa opción ?

Answer 1

Si usted permite que invariantes numéricos que no son números reales, entonces "número cardinal" es un ejemplo. La cardinalidad de un conjunto $A$ es el menor ordinal $\alpha$ para el cual existe un bijection entre $\alpha$ e $A.$ Pero no hay forma canónica para seleccionar un determinado bijection (a menos que usted haga especial conjunto de la teoría de la hipótesis como $V=L$), y no hay manera de saltarse este.

Answer 2

Esto no es un ejemplo claro de un "canónica" invariantes sin una descripción canónica, pero creo que es un punto importante que debe ser planteado con respecto a estos temas (y es demasiado largo para un comentario).

A menudo tenemos múltiples no canónicos de decisiones en la definición de nuestro invariable, y la existencia de estas opciones es más importante que insistir en la canónica de elección libre descripción.

Un ejemplo es el grupo fundamental de un espacio. Para una razonable, conectado espacio, el resumen del grupo que tenemos es independiente del punto de base elegido, pero cambiando nuestro punto de base por un determinado camino induce una conjugación de la acción de grupo fundamental en sí mismo. Por lo tanto, para llegar a esta acción, y todo el punto de base el cambio de los fenómenos, por ejemplo, cubriendo espacios, tenemos que considerar todas las opciones de punto de base, y cómo se relacionan el uno con el otro.

Sin embargo, si insistimos en el punto de base de la independencia, obtenemos lo que queda después de forzar el grupo fundamental de la conjugación de la acción en sí misma para ser trivial, lo que nos da el primer grupo de homología de nuestro espacio, que es, $\pi_1(X,,x_0)^{ab}\cong H_1(X)$.

Otro ejemplo de esto es que uno puede recuperar un (finito) nonabelian grupo como el tensor de automorfismos de un "olvidadizo" functor $F:Rep^G\rightarrow Vect$, pero la elección de este olvidadizo functor es no canónicos. Sin embargo, podemos recuperar el abelianisation $G^{ab}$ de grupo $G$ de su categoría de representaciones canónicamente estoy bastante seguro de que, sin olvidadizo functor (punto base) requiere, considerando el tensor de automorfismos de la identidad functor en la subcategoría generado por invertible objetos en $Rep^G$.

Answer 3

Supongamos que tenemos algunos invariantes en un conjunto $B$ que se define en términos de una selección de $a\in A$. A continuación, sin escoger un $a\in A$ aún podemos construir la función $f:A\to B$ que se asigna a$a\in A$ a la correspondiente al valor de los invariantes en $B$.

Podemos demostrar que para todos los $a_1,a_2\in A$ tenemos $f(a_1)=f(a_2)$. Esta prueba supondrá teniendo en cuenta que algunos particulares $a_1$ e $a_2$ en $A$, pero yo no diría que se ha hecho alguna de las opciones, ya que $a_1$ e $a_2$ , tanto en variedad, sobre todo de $A$.

Creo que esto es lo mas lejos que se puede ir sin hacer una elección. Para definir el valor de los invariantes uno tiene que decir "pick $a\in A$ y considerar la posibilidad de $f(a)$". Esto es necesario porque de lo contrario $A$ puede estar vacía, y el invariante no se define en absoluto.

Por ejemplo, si su definición de "finito-dimensional espacio vectorial" es "tiene un número finito de base", su definición de determinante tiene que implican escoger un número finito de base. De lo contrario, el determinante también sería definido para espacios de infinitas dimensiones. Incluso la definición de determinante que implican exterior poderes implican escoger un número finito de base en algún lugar (se considera $\Lambda^{\mathrm{dim}(V)}(V)$, y usted tiene que elegir un número finito de base para calcular el $\mathrm{dim}(V)$).