¿Por qué$\int_0^R 2 \pi r \,\mathrm d r$ da el área de un círculo?

Question

Hay un método para calcular el área de un círculo a través de su división en anillos concéntricos con infinitesimal de ancho. Deje $R$ ser el radio del círculo y $r$ ser el radio de los anillos. El área del círculo es

$$\int_0^R 2 \pi r \,\mathrm d r$$

Mis preguntas son:

1. No entiendo, sin embargo, cómo justificar la $2 \pi r \,\mathrm d r$ aproximación para el área de cada anillo. Su área real sería $$\pi (r + \mathrm d r)^2 - \pi r^2 = 2 \pi r \,\mathrm d r + \pi \left( \mathrm d r \right)^2$$ a la derecha? Podría yo uso esta más precisa de la fórmula, si yo quería? Cómo?

2. La zona en la integral anterior se ve más como el área lateral de un cilindro de altura $\mathrm d r$, que es diferente de la real de la zona comprendida entre dos círculos concéntricos. Entonces, ¿por qué funciona?

3. Sería el área lateral de un cono truncado (que parece ser el intermedio entre el área de anillo y el área lateral del cilindro) también funcionan como una aproximación?

4. También, ¿cómo se puede llegar con una idea para una aproximación que hace el cálculo, de forma maravillosamente simple (es decir, adoptar el área lateral de un cilindro como el de la zona de los anillos)? Se considera trivial integral, pero hay una enorme y en su mayoría ignorados paso a ser llevado.

Answer 1

La idea es que la aproximación se pone mejor y mejor, como hacer que los anillos más fino y más fino, por lo que, finalmente, acabar con el aproximado de estilo resultado, incluso si se utiliza el más exacto de la versión.

Que la aproximación se justifica hace evidente si se piensa en términos de diferenciales de lugar, de modo que el ancho de los anillos es sólo una diferencia; porque como $\Delta r\to 0,$ el término cuadrático en $\Delta r$ enfoques $0$ más rápido, o, como decimos, es de orden menor que $\Delta r.$ Esto es simplemente porque $x^2=o(x),$ en general, como $x\to 0.$

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Para responder a las otras preguntas, que te he numerado y reorganizado:

La idea clave a tener en cuenta es que cualquier aproximación inicial va a hacer, siempre que el error se desvanece en el límite de lo suficientemente rápido.

La interpretación de las matemáticas es multidimensional. La misma expresión puede ser interpretada de forma diferente dependiendo del contexto o la facilidad. Así, por ejemplo, mientras que Euclides hubiera pensado de $xy$ (ambos factores positivos reales) como un área rectangular, Descartes simplemente pensaba en ella como un segmento de línea. Hay infinitamente muchas otras maneras de pensar de este producto; por ejemplo, un grupo podría ser $\underbrace{1×1×1×\cdots×1}_{n} × xy,$ donde $n$ es un entero positivo.

Por lo tanto, usted podría pensar de $2πr\Delta r$ a medida que la curva área de un cilindro. Desenrollar esto da una franja rectangular de dimensiones $2πr × \Delta r.$ El anillo con una mediana de radio $r$ y la anchura $\Delta r$ también se puede pensar como el representado (aproximadamente) por esa expresión. Ahora como $\Delta r\to 0,$ la tira enfoques de una cadena de longitud $2πr,$ que es igual a la circunferencia del círculo que el anillo enfoques demasiado. El área de la superficie de un cono truncado debería funcionar de manera similar.