Probabilidades en estados no estacionarios

Question

Estoy confuso a mí mismo. Vamos a representar a un estado en el eigenbasis para el Hidrógeno:

$$|\psi\rangle = \sum_{n,l,m}|n,l,m\rangle\langle n,l,m|\psi\rangle.$$

Ahora denotar el estado inicial por $\psi(t=0)\equiv\psi_o$, y golpeó a esta cosa con tiempo de evolución:

$$U|\psi\rangle = \sum_{n,l,m}e^{-iE_nt/\hbar}|n,l,m\rangle\langle n,l,m|\psi_o\rangle.$$

Estoy con ganas de saber lo que la probabilidad es de que yo medida específica $(l^*,m^*)$ en algún momento posterior a$t$. Mirando esto, tenemos

$$P(t,l=l^*,m=m^*)=\sum_n|\langle n,l^*,m^*|U|\psi\rangle|^2 \\ = \sum_n|\langle n,l^*,m^*|\psi_o\rangle|^2.$$

Esto no tiene ninguna dependencia del tiempo, y siento que me estoy perdiendo algo obvio. Por ejemplo, decir que preparar el estado inicialmente $|\psi\rangle = a|1,0,0\rangle+b|2,1,1\rangle+c|3,1,1\rangle$, donde todas las constantes son reales. Esto implicaría a partir de lo anterior, después de la normalización, que

$$P(l=1,m=1) = (b^2+c^2)/(a^2+b^2+c^2),$$

independiente del tiempo. Lo que me estoy perdiendo aquí? Obviamente, la función de densidad de probabilidad tiene de la cruz términos, así que no veo por qué esto debería ser físicamente el caso, provocando mi pregunta.

==================================================================== Cierre:

Como se ha señalado por el usuario 'La Vee', mi confusión surgió de este observable ser una parte integral de la eigenbasis representación. Yo tenía internamente generalizado de la dependencia del tiempo de los observables de las expectativas, cuando este no es el caso si que es observable también se utiliza como un número cuántico en la representación del estado. El tiempo general de la evolución de algunos observables $\Omega$ en esta base sería

$$\langle\Omega (t)\rangle = \langle \psi|U^{\dagger} \Omega U|\psi\rangle \\ = \sum_{n',l',m'}\sum_{n,l,m}e^{i(E_n'-E_n)t/\hbar}\langle n',l',m'|\Omega|n,l,m\rangle\langle n',l',m'|\psi_o\rangle^*\langle n,l,m|\psi_o\rangle.$$

Si $\Omega = L^2$ o $L_z$, a continuación, ortogonalidad, esto reduce a

$$\langle L^2\rangle = \sum_{n,l,m}\manejadores^2 l(l+1)|\langle n,l,m|\psi_o\rangle|^2 \\ \langle L_z\rangle = \sum_{n,l,m}\manejadores m|\langle n,l,m|\psi_o\rangle|^2$$

No hay dependencia del tiempo de las expectativas, por lo tanto no hay dependencia del tiempo de observación de la probabilidad; todo está bien. Si $[H,\Omega]\neq 0$, entonces todos los de la cruz términos no abandonan, y vemos que la oscilación en el exponencial dependiendo de la diferencia de energía de los estados. Me he mantenido en esta base para garantizar la coherencia con la pregunta anterior, pero podemos ver cómo esto se generaliza a cualquier CSCO usamos, como usuario 'gented' tiene en su respuesta mediante el uso de un colectivo de la notación $|a\rangle$.

Answer 1

Esto es en general cierto cuando se calcula la proyección sobre un eigenstate (y no una combinación de los mismos). Deje $\left\{|a\rangle\right\}_{a\in A}$ ser un conjunto de eigentstates para la Hamiltionian $\hat{H}$, un estado en el tiempo $t$ puede ser escrito como $$ |\psi(t)\rangle = \sum_{un}\hat{U}(t)\rangle\langle un |\psi_0\rangle. $$ Su proyección sobre un eigenstate $|a'\rangle$ es $$ \langle un'| \psi(t)\rangle = \langle un'| \Big(\sum_{un}\hat{U}(t)\rangle\langle un |\psi_0\rangle\Big)=\hat{U}(t)_{''}\langle un'|\psi_0\rangle $$ cuya norma no depende de tiempo tan largo como $\hat{U}(t)$ recoge sólo una fase factor cuando actúa en autoestados. Esto es porque una vez que el estado se derrumba en un eigenstate, permanece allí indefinidamente.

Answer 2

Usted acaba de pasar a considerar la posibilidad de un observable (o más bien, un par de observables) que es, de hecho, una integral (integral) de movimiento del sistema. En otras palabras, la probabilidad de medir cualquier valor de $(l,m)$ es, de hecho, no se espera a cambiar durante el tiempo de la evolución.

Esto no es cierto para otros observables en general, pero sí para cualquier momento, independiente de la $A$ que conmutan con el Hamiltoniano. Dado que tanto $L^2$ e $L_z$ tienen esta propiedad, tanto de $l$ e $m$ son las integrales de movimiento y el resultado de la siguiente manera. (Ellos también viajan uno con otro, que le permite utilizar tanto los valores medidos simultáneamente.)

Para un contraejemplo, usted puede considerar la probabilidad de medir algo que no es un eigenstate de la Hamiltoniana, como $|\varphi\rangle := (|1,0,0\rangle + |2,0,0\rangle)/\sqrt2$. No voy a tratar de llegar con un observable de que este es un autovector – que sólo podría oscurecer la idea y al final del día sólo se necesita el autovector de todos modos. Si lo desea, ejemplos comunes observables que no conmuta con el hidrógeno Hamiltonianos son alguno de los componentes de la posición o de impulso, pero no el cálculo directo es complicado por el hecho de que estos no tiene autovalores.