¿Qué es la tangente en un punto agudo de una curva?

Question

Cómo saber qué línea representa la tangente a una curva $y=f(x)$ (en ROJO) A partir del diagrama, no puedo decidir qué línea tomar como tangente, todas parecen tocarse en un mismo punto.

Answer 1

Ninguno, porque no es diferenciable ahí, por lo que no hay recta tangente en ese punto.

Answer 2

Uno de los puntos definitorios (¡no es un juego de palabras!) de una tangente es la idea de que a medida que se observa una sección cada vez más pequeña de la curva, ésta empieza a parecerse cada vez más a una línea recta .

Ese comportamiento te permite hacer un gran número de cosas:

• Puedes estimación donde la curva va en lugares cercanos a ese punto (si la tangente tiene un gradiente de 2, entonces la curva en X + 0,000001 probablemente estará cerca de Y+0,000002, o lo que sea).
• Puedes aproximar la curva mediante pequeñas secciones de líneas rectas - esta es la base del cálculo simple.
• Puedes tomar los límites de varias maneras, y esperar que converjan a medida que se utilizan secciones más estrechas de la curva
• ? Muchas otras cosas, todas derivadas de éstas.

No todas las curvas se comportan así, y la tuya no lo hace. Por mucho que inspeccione la cúspide de su curva (la parte puntiaguda), es nunca se va a parecer en nada a una línea recta, en cualquier escala. Siempre parecerá una cúspide.

Esa es la razón fundamental por la que no hay una tangente en ese punto. Porque la curva no se parece a una línea recta, ni siquiera en un primer plano microscópico, no tiene pendiente ni tangente en ese punto, y no es diferenciable en ese punto (lo mismo en un nivel muy simple), etc.

De hecho, esto no es inusual. De hecho, hay más curvas no ¡que tener un gradiente que hacerlo - es sólo que no estudiamos las curvas al azar, por lo que principalmente se mira a las curvas que lo hacen - al menos, en este nivel de las matemáticas!

Otros ejemplos de curvas que no tienen pendiente en algunos o todos los puntos -

• el curva de "paso" (definido como y=0 si x<0, y=1 si x >= 0)
• una "curva" definida como y=1 si x contiene un "1" cuando se escribe en decimal, e y=0 en caso contrario. Porque hay infinidad de números que sencillamente no tienen un 1 en su expansión decimal, ¡enclavados entre los que sí lo tienen!
• la curva y = 1/x en x=0
• el " curva del manjar blanco ", que no tiene ninguna interrupción, y parece que debería ser una bonita curva directa, pero en realidad se "tambalea" tanto a cualquier nivel microscópico (¡por muy de cerca que se mire, y por donde se mire!) que al final, no tiene un gradiente en ninguna parte.

Answer 3

Si la cúspide que se dibuja es realmente una cúspide (a grandes rasgos: si microscópicamente no es "redonda") se puede hablar de una a la derecha y a la izquierda tangente, lo mismo que se hace con los límites.

Consulte este artículo de la wiki .

Obsérvese también que, si la semiderivada de un lado tiene el valor de $m$ y el otro $-\,m$ Entonces las dos líneas coinciden geométricamente en una sola línea (o, tal vez mejor, media línea o rayo).

Answer 4

La tangente "clásica" no existe, en efecto. Sin embargo, para una función convexa con un punto agudo, se puede utilizar una generalización de la derivada llamada subderivada . Se utiliza con frecuencia en la optimización.

Answer 5

Si $y=F(x)$ no es diferenciable entonces el coeficiente diferencial /derivada no existe y no habrá una única tangente definida.

Ignora lo siguiente si no tiene sentido ahora. Hay situaciones en las que si una tercera variable de espacio $z$ como en $(x,y,z) $ se define con un cuarto parámetro común $t$ como lo es para esta curva de cuatro ramas entre cuatro cúspides agudas:

$$ x= \cos^3t, y= \sin^3t, z= \frac12 \cos^2t $$

En $ x-z$ o $ y-z$ proyecciones (una sombra, si se quiere) existen tangentes que de repente giran por $90^{\circ}$ en los puntos de cúspide y la pendiente de la tangente incluye todas las pendientes en una situación en la que hay diferenciabilidad en estos puntos críticos.