¿La convergencia de polinomios implica la de sus coeficientes?

Question

Deje $\{p_{n}\}$ ser una secuencia de polinomios y $f$ una función continua en $[0,1]$ tal que $\int\limits_{0}^{1}|p_{n}(x)-f(x)|dx\to 0$. Deje $c_{n,k}$ ser el coeficiente de $x^{k}$ en $p_{n}(x)$. Podemos concluir que $\underset{n\rightarrow \infty }{\lim }c_{n,k}$ existe para cada una de las $k$?.

Lo que sabemos hasta ahora: si los grados de $p_{n}^{\prime }s$ son acotados, a continuación, esto es cierto. De hecho, se puede substituir $L^{1}$ convergencia la convergencia en cualquier norma en $C[0,1]$; para ver esto solo tenemos que señalar que fija $N$, $% \sum_{k=0}^{N}c_{i}x^{i}\rightarrow (c_{0},c_{1},...,c_{N})$ es un lineal mapa en un finito-dimensional en el subespacio, y por lo tanto es continua. Mi la conjetura es que el resultado se produce un error cuando no hay ninguna restricción en los grados. Pero si $p_{n}(z)$ converge uniformemente en algunos de disco alrededor de $0$ en el complejo plano, entonces la conclusión se mantiene. Para construir un contraejemplo tenemos que evitar esta situación. Tal vez hay un ejemplo muy simple pero no he sido para encontrar uno. Gracias por invertir su tiempo en esto.

Answer 1

Considerar la secuencia de polinomios.

$$ p_n (x) = \ left \ {\begin{array}{@{}ll@{}} (1-x)^n, & \text{if}\ n\equiv 0 \mod 2 \\ x^n, & \text{if}\ n\equiv 1 \mod 2 \end {array} \ right. $$

Luego $p_n(x)$ converge a $0$ pero el término constante está oscilando.