Definición de una fibra compleja.

Question

Definimos un real hipersuperficie como un subconjunto $M\subset\Bbb C^n$ cual es definida localmente como el cero-locus de algunos $r\in\mathcal C^2(\Omega,\Bbb R)$ ($\Omega\subseteq\Bbb C^n$ abierto). A continuación, vamos a $z_0\in M$.

Si $\Bbb C^n$$\Bbb R^n$, podemos ver fácilmente que ese $M$ $(n-1)$- dimensiones de la variedad. Espero que en el caso complejo, que funciona tan bien.

Lo que nos permite pensar que la realidad de los hechos funciona también aquí (y soy bien consciente de que esto podría ser muy malo, pero la única fuente que tengo es de hyper-críptico, así que espero que en el buen corazón de alguien de ustedes!), sabemos que la definición de espacio de la tangente a $M$ $z_0$ (o la fibra de $z_0$): en el caso real se $\ker \Delta r(z_0)$, ahora mi libro dice que es "el espacio de los vectores de othogonal a $\partial r(z_0)$ bajo hermitian producto", y denota este con $T_{z_0}^{\Bbb C}M$. Yo, obviamente, dedujo que $$ T_{z_0}^{\Bbb C}M:=\{z\in\Bbb C^n\;:\z\cdot\overline{\partial r(z_0)}=0\} $$ donde $\partial r(z_0)=(\partial_{z_1}r(z_0),\dots,\partial_{z_n}r(z_0))$.

Pero esto no puede ser correcto porque algo de lo que he encontrado después de (que ocupa el bien de la definición de la firma de la Levi forma de $M$, y sería muy largo de escribir: yo creo que lo importante es decir que en este punto he llegado a una contradicción). La manera de evitar contradicciones, es definir $T_{z_0}^{\Bbb C}M$$\{z\in\Bbb C^n\;:\;z\cdot\partial r(z_0)=0\}$. Pero esto no parece "el ortogonal a $\partial r(z_0)$ bajo hermitian producto"!

Alguien me puede ayudar? Muchas gracias!

Answer 1

En primer lugar, quiero destacar que la introducción de un hermitian estructura en $\mathbb C^n$ en esta pregunta es fea, es absolutamente innecesario y sólo oscurece la situación.
Dicho esto, dada su $r\in\mathcal C^2(\Omega,\Bbb R)$ el subconjunto $M\subset \Omega$ definido por $r=0$ es un verdadero colector en $z_0\in \Omega$ si y sólo si el verdadero diferencial de la forma $dr (z_0)\neq 0\in L_\mathbb R(\mathbb C^n,\mathbb R)$.
Si este es el caso, el espacio de la tangente a $M$ $z_0$ es el verdadero hyperplane $$T_{\mathbb z_0}(M)=\ker dr (z_0)\subset \mathbb C^n $$of real dimension $2n-1$.
Dentro de este real hyperplane se encuentra un complejo único hyperplane de la compleja dimensión de $n-1$ (y por tanto de la dimensión real de $2n-2$) $$ T_{z_0}^\mathbb C (M)= T_{ z_0}(M)\cap i T_{z_0}(M) \subset \mathbb C^n $$ This complex hyperplane is also characterized by $$T_{z_0}^\mathbb C (M)=ker(\partial r(z_0):\mathbb C^n\to \mathbb C)\subset \mathbb C^n$$
Eso es todo lo que hay para ello, pero este tema es uno de los peores explicó en el análisis complejo.

Recordatorio de las fórmulas:
$$dr(z_0)=\sum \frac {\partial r} {\partial z_j}(z_0)dz_j+\sum \frac {\partial r} {\partial \bar {z_j}}(z_0)d\bar {z_j}=\sum \frac {\partial r} {\partial x_j}(z_0)dx_j+\sum \frac {\partial r} {\partial y_j}(z_0)dy_j\in L_\mathbb R(\mathbb C^n,\mathbb R)$$ and $$\partial r(z_0)=\sum \frac {\partial r} {\partial z_j}(z_0)dz_j \in L_\mathbb C(\mathbb C^n,\mathbb C)$$

Answer 2

Algo está mal con las declaraciones que parafraseado de su origen. Me explico.

Cuando usted está hablando de una verdadera submanifolds, usted debe tratar a $\mathbb C^n$ idénticos con $\mathbb R^{2n}$. Si $0$ es un valor regular de $r\in \mathcal C^2(\Omega,\mathbb R)$$M=r^{-1}(0)$, $M$ es un auténtico $(2n-1)$-dimensiones submanifold de $\Omega$. El espacio de la tangente $T_{z_0}\mathbb C^n$ $2n$- dimensional espacio vectorial real, que puede ser, naturalmente, identificado con $\mathbb R^{2n}$ (o, alternativamente, con $\mathbb C^n$ visto como un $2n$-dimensional espacio vectorial sobre $\mathbb R$).

En este contexto, $T_{z_0}M$ es, como de costumbre, el espacio de los vectores en $T_{z_0}\mathbb C^n$ que están en el núcleo de la (valor real) $1$forma $dr$; este es un real $(2n-1)$-dimensiones subespacio de $T_{z_0}\mathbb C^n$. En términos de la norma coordenadas $z^j = x^j + i y^J$, podemos escribir una arbitraria $v\in T_{z_0}\mathbb C^n$ en forma $$ v = \sum_{j=1}^n \left(a^j\frac{\partial}{\partial x^j} + b^j\frac{\partial}{\partial y^j}\right), $$ y, a continuación, la condición de $dr(v)=0$ se convierte en $$ 0 = \sum_{j=1}^n \left(a^j\frac{\partial r}{\partial x^j} + b^j\frac{\partial r}{\partial y^j}\right).\la etiqueta{$*$} $$

No tiene sentido decir que $T_{z_0}M$ es "el espacio de los vectores de othogonal a $\partial r(z_0)$ bajo hermitian producto," porque un Hermitian producto interior sólo puede definirse en un complejo espacio vectorial. Si pensamos en $(\partial_{z_1}r(z_0),\dots,\partial_{z_n}r(z_0))$ como un vector en un $\mathbb C^n$, su complemento ortogonal bajo el estándar de Hermitian producto interior es una $(n-1)$-dimensiones complejas subespacio de $\mathbb C^n$, lo cual es incorrecto.

Si desea escribir la condición de $v\in T_{z_0}M$ en el complejo de la notación, puede utilizar el complexified tangente vectores $\partial/\partial z^j = \frac 1 2 (\partial/\partial x^j - i \partial/\partial y^j)$$\partial/\partial {\bar z}^j = \frac 1 2 (\partial/\partial x^j + i \partial/\partial y^j)$, y puede identificar a $v$ con el complejo de vectores $(a^1+ib^1,\dots, a^n+ib^n)\in \mathbb C^n$. A continuación, $(*)$ es equivalente a $$ 0 = \sum_{j=1}^n \left( (a^j + i b^j )\frac{\partial r}{\partial z^j} + i (^j - i b^j) \frac{\partial r}{\parcial \bar{z}^j} \right)= 2 \operatorname{Re} (v\centerdot \partial r(z_0)), $$ que no es la misma que la ecuación que se cita.