Demostración del teorema de la multiplicación para el polinomio de Bernoulli

Question

Cómo se puede demostrar la expresión de abajo:

$$B_n(mx) = m^{n1} \sum\limits_{k=0}^{m-1}B_n\left(x+\frac{k}{m}\right)$$

Donde $B_n(x)$ es el polinomio de Bernoulli

Sé que ya está demostrado por Joseph Ludwig Raabe, pero no sé cómo exactamente.

Answer 1

Utilizo la función generadora $\frac{te^{xt}}{e^t-1}=\sum_{n=0}^{\infty} B_n(x)\frac{t^n}{n!}$ y $\frac{1}{e^{mt}-1}=\frac{1+e^t+e^{2t} +... +e^{(m-1)t}}{e^m-1}$ $$\sum_{n=0}^{\infty} B_n(mx)\frac{t^n}{n!} =\frac{te^{mxt}}{e^t-1} =\frac{te^{mxt}(1+e^t+e^{2t}+....+e^{(m-1)t})}{e^{mt}-1} =\sum_{k=0}^{m-1}\frac{te^{(mx+k)t}}{e^{mt}-1}$$ $$=\frac{1}{m}\sum_{k=0}^{m-1}\frac{(mt)e^{(x+\frac{k}{m})(mt)}}{e^{mt}-1} =\frac{1}{m}\sum_{k=0}^{m-1}\sum_{n=0}^{\infty} B_n(x+\frac{k}{m})\frac{(mt)^n}{n!} =\sum_{n=0}^{\infty}\left [ m^{n-1}\sum_{k=0}^{m-1} B_n\left(x+\frac{k}{m}\right) \right ]\frac{t^n}{n!}$$ comparando los coeficientes se obtiene la prueba.

Gracias por el problema, fue divertido.

Edit1: error tipográfico señalado por @Herman

Answer 2

Por inducción sobre $n$ .

Si $n=1$ tenemos de la definición de $B_1(x)=x-1/2$ ,

$$\begin{eqnarray*} B_1(mx) = mx - \frac{1}{2}, \end{eqnarray*}$$ Por otro lado, el lado derecho con $n=1$ es

$$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{m-1} B_1 \left ( x +\frac{k}{m} \right ) &=& \sum_{k=0}^{m-1} \left ( x+ \frac{k}{m} - \frac{1}{2} \right ) \\ &=& mx + \frac{1}{m} \frac{m(m-1)}{2} - \frac{m}{2} \\ &=& mx - \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$$

Supongamos que para $n-1$ la igualdad se mantiene.

Definir $f_n(x) = B_n(mx) - m^{n-1} \sum_{k=0}^{m-1} B_n \left ( x + \frac{k}{m} \right )$ . Desde $dB_n(x)/dx= n B_{n-1}(x)$ , La derivada de $f_n$ viene dada por

$$\begin{eqnarray*} f'_n(x) &=& m n B_{n-1}(mx) - m^{n-1} \sum_{k=0}^{m-1} \frac{n}{m} B_{n-1} \left ( x + \frac{k}{m} \right ) \\ &=& m n f_{n-1}(x) \\ &=& 0 \quad \text { by the induction hypothesis on $n-1$ }. \end{eqnarray*}$$

Por lo tanto, $f_n(x)=c_n$ para $c_n$ constante. Para encontrar la constante hay que tener en cuenta que como $\int_0^1 B_n(x) dx = 0$ entonces

$$\begin{eqnarray*} \int_0^{1/m} f_n(x) &=& \int_0^{1/m} \left [ B_n(mx) - m^{n-1} \sum_{k=0}^{m-1} B_n \left ( x + \frac{k}{m} \right ) \right ] dx \\ &=& \frac{1}{m} \int_0^1 B_n(y) dy - m^{n-1} \sum_{k=0}^{m-1} \int_0^{1/m} B_n \left ( x + \frac{k}{m} \right ) dx \\ &=& 0 + m^{n-1} \sum_{k=0}^{m-1} \int_{k/m}^{(k+1)/m} B_n \left ( y \right ) dy \\ &=& 0 + m^{n-1} \sum_{k=0}^{m-1} \int_0^1 B_n \left ( y \right ) dy \\ &=& 0. \end{eqnarray*}$$

Entonces, como la integral de una constante en el intervalo $[0,1/m]$ , $m > 0$ es 0, esa constante tiene que ser cero. Por lo tanto $f_n(x)=0$ como se desee.