Demostrar la singularidad en el teorema de la estructura para los módulos generados finamente sobre un dominio ideal principal

Question

En la introducción del curso de álgebra, una prueba de la Estructura teorema de finitely módulos generados durante un director ideal de dominio.

http://en.wikipedia.org/wiki/Structure_theorem_for_finitely_generated_modules_over_a_principal_ideal_domain

En cada libro que he mirado, la singularidad parte de la prueba es un desastre.

Puede alguien darme una referencia para un mejor prueba de la singularidad parte? Estoy especialmente interesado en una prueba de unicidad cuando el subyacente anillo es el anillo de polinomios en una variable más de un campo.

Answer 1

Deje $M$ ser el finitely módulo generado, y $M_{tor}$ su torsión submódulo. Como parte de la prueba de la estructura teorema, una muestra que $M/M_{tor}$ es gratis de rango finito, y que $M$ es isomorfo a $M_{tor} \oplus M/M_{tor}$, así que basta para mostrar la singularidad gratis módulos de torsión y los módulos por separado.

Para un módulo, libre de rango puede ser calculada como el número máximo de las linealmente independientes elementos (sólo con la costumbre de álgebra lineal definición, pero aplicado a la libre módulo). De modo que el libre rango de $M/M_{tor}$ está determinada únicamente. (De hecho, se puede aplicar esta directamente a $M$ --- la parte libre de $M$ en la descomposición dada por el teorema de estructura es sólo el número máximo de las linealmente independientes elementos de $M$ --- y para que no es necesario considerar explícitamente $M/M_{tor}$ si usted no lo desea.)

Ahora estamos reduce al caso en el $M = M_{tor}$, es decir, $M$ es de torsión. La estructura teorema nos da ese $M$ es una suma directa de los módulos de la formulario de $A/\wp_j^{i_j} A$ distintos de cero en el primer ideales $\wp_j$$A$, y diversos índices de $i_j$.

Imaginemos ahora que tenemos otro ejemplo de descomposición, en una suma directa de $A/\wp'_j^{i'_j}.$

Si fijamos un valor distinto de cero el primer ideal $\wp$$M$, y algunos $n \geq 0,$ a continuación, vamos a $M[\wp^n]$ denotar el submódulo de $M$ compuesto de elementos aniquilado por $\wp^n$. Un cálculo directo con cada una de las descomposiciones muestra que $M[\wp^n]/M[\wp^{n-1}]$ $A/\wp$- espacio vectorial de dimensión igual al número de de $j$ que $\wp_j = \wp$ $i_j \geq n,$ y también igual al número de $j$ que $\wp'_j = \wp$ $i'_j \geq n.$ Desde $\wp$ $n$ fueron arbitrarias, esto muestra que las dos descomposiciones coinciden.

También se puede hacer la siguiente variante de este argumento, en el que podemos dividirlo en dos pasos. Es decir, la primera revisión de un no-cero el primer ideal de $A$, y considerar la posibilidad de $M[\wp^n]$. Si $n$ es mayor que cualquiera de las $i_j$ o $i'_j$, entonces esta es la suma directa de las $A/\wp_j^{i_j}$ para que $\wp_j = \wp$, y también es la suma directa de las $A/\wp'_j^{i'_j}$ que $\wp'_j = \wp$. Por lo tanto, la sustitución de $M$ $M[\wp^n]$ $\wp$ ejecuta a través de todos los $\wp_j$$\wp'_j$, podemos suponer que todas las $\wp_j$ $\wp'_j$ coinciden con algunos prima fija ideal $\wp$. A continuación, podemos repetir el argumento anterior, pero sólo variando $n$, y manteniendo $\wp$ igual dado elección de primer ideal.

También existe la siguiente variante, el uso de cocientes, en lugar de subobjetos, es decir, fijar un valor distinto de cero el primer ideal de $A$, y considerar la posibilidad de $M/\wp^n M$. De nuevo, si $n$ es mayor que cualquiera de las $i_j$ o $i_j'$, entonces esta es la suma directa de las $A/\wp_j^{i_j}$ para que $\wp_j = \wp$, y también es la suma directa de las $A/\wp'_j^{i'_j}$ que $\wp'_j = \wp$.

En este punto, se podría considerar la posibilidad de submódulos de prescripción de torsión, como en el anterior, pero, ya que hemos empezado por el uso de cocientes, podemos terminar por el uso de cocientes así, considerando los coeficientes de la forma $\wp^n M/\wp^{n+1}M$ así como en Pierre-Yves Gaillard del comentario anterior. Como él explica, esto también le da la deseada singularidad.

Answer 2

Como complemento a Matt E s bonita respuesta, vamos a $A$ ser su PID, y $p\in A$ de una prima. Esto es suficiente para demostrar la unicidad en el caso de que su finitely módulo generado $M$ es el producto de un número finito de la familia de módulos de la forma $$M_i:=A/p^{i+1}A.$$ For each $j$ the quotient $p^jM/p^{j+1}M$ is an $A/pA$ vector space of finite dimension $n_j$. The multiplicity of $A/p^{i+1}$ is then $n_i-n_{i+1}$.

Aquí es una manera de ver esto.

Forma el polinomio $M(X):=\sum\ n_j\ X^j$. Tenemos $$M_i(X)=\frac{X^{i+1}-1}{X-1}=1+X+X^2+\cdots+X^i,$$ y debemos resolver $\sum\ m_i\ M_i(X)=\sum\ n_j\ X^j$$m_i$, donde el $n_j$ son considerados como cantidades conocidas (casi todos iguales a cero). Multiplicando todo por $X-1$ obtenemos $$\sum\ m_{i-1}\ X^i-\sum\ m_i=\sum\ (n_{i-1}-n_i)\ X^i,$$ de donde la fórmula.