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Question

Pista dada: Escribe el integrando como una integral.

Se supone que debo hacer esto como doble integración.

Mi intento:

PS

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Al realizar esta integración, obtuve,$$\int_0^2 [\tan^{-1}y]^{\pi x}_{x}$ $

Pero se supone que debo obtener$$= \int_0^2 \int_x^{\pi x} \frac { \mathrm{d}y \mathrm{d}x} {y^2+1}$ $

¿Puede alguien explicar por favor dónde me equivoco? No he podido localizar mi error. Gracias.

Answer 1

Un enfoque más directo utiliza la integración por partes.

Definir: \begin{align} & I(c)=\int_{a}^{b}dx(1 \times \arctan{c x})=\int_{ac}^{bc}\frac{dy}{c} (1 \times\arctan{ y})=\\&\frac{1}{c}y \arctan(y)|_{ac}^{bc}-\frac{1}{2c}\int_{ac}^{bc}\frac{y}{1+y^2} \end {align}

usando una fracción parcial esto lee: \begin{align} I(c)=\frac{1}{c}y \arctan(y)|_{ac}^{bc}-\frac{1}{2c}\log(1+y^2)|_{ac}^{bc} \end {align}

tomando$I(\pi)-I(0)$ con$a=0$ y$b=2$ hemos terminado

Answer 2

Usa el cambio de variables$y = xt.$

PS

Ahora usa la integración por partes.

PS