Singularidad aislada de la función armónica.

Question

Estoy trabajando con un libro de Axler, Bourdon y Ramey y encuentro el siguiente problema:

Supongamos que$u$ es una función armónica en$B \setminus \{0 \}$ tal que$$ |x|^{n-2} u(x) \to 0, \qquad x \to 0 $ $ demuestra que$u$ tiene una singularidad removible en$0$

La solución es trivial si consideras la serie de Laurent. Me han dicho que la prueba es mucho más elemental simplemente considerando el núcleo de Poisson. ¿Alguien lo sabe?

Gracias de antemano,

re

Answer 1

Supongo que la bola$B$ tiene un radio$1$ y$n\ge 3$. Toma$r\in (0,1)$ y considera el problema

$$ \ left \ {\begin{array}{ccc} -\Delta v=0, &\mbox{ in %#%#%}, \\ v=u, &\mbox{in %#%#%}. \end {array} \ right. $$

I - Muestra que$B(0,r)$ $

II - De I, tenemos que para todos$\partial B(0,r)$, hay$$\lim_{x\to 0}\frac{u(x)-v(x)}{r^{2-n}-|x|^{2-n}}=0.$ tal que$\epsilon>0$ $

Use el principio de máxima en el dominio$\delta >0$, para concluir una desigualdad similar a$$|u(x)-v(x)|\le \epsilon |r^{2-n}-|x|^{2-n}|,\ \forall\ x\in \overline{B(0,\delta)}.\tag{1}$ para este dominio.

III - Concluye que$B(0,1)\setminus B(0,\delta)$.