¿Podría alguien dar algunos ejemplos de adjuntos no monádicos, por favor? ¿Posiblemente explicando por qué no son monádicas y cómo contradicen el teorema de la monadicidad? Gracias.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Un ejemplo clásico: el functor de olvido de espacios topológicos a conjuntos.
El adjunto izquierdo es el functor "espacio discreto" (que envía un conjunto $X$ al espacio discreto con el espacio subyacente $X$ ), y la composición sólo da la identidad en Sets, así que claramente Top no es la categoría Eilenberg-Moore de la mónada.
Se puede ver que el funtor de olvido no refleja los isomorfismos (un homeomorfismo es más que una función continua biyectiva), por lo que el teorema de la monadicidad efectivamente no se puede aplicar.
Pece
Puntos
5274
Puede que esta no sea la respuesta que está buscando, pero podría darle una pequeña idea de lo que monádico realmente significa.
Dada una mónada $(T,\eta,\mu)$ en una categoría $\mathcal C$ puede formar el categoría $\operatorname{Adj}(\mathcal C,T)$ de adjuntos por encima de $T$ :
- sus objetos son la ajdunción $F: \mathcal C \rightleftarrows \mathcal D :U$ ( $F$ a la izquierda) tal que la mónada inducida $(UF,{\rm unit},U\,{\rm counit}\,F)$ es igual a $(T,\eta,\mu)$ ;
- un morfismo de $F: \mathcal C \rightleftarrows \mathcal D :U$ a $F': \mathcal C \rightleftarrows \mathcal D' :U'$ es un functor $K \colon \mathcal D \to \mathcal D'$ tal que $KF = F'$ , $U'K = U$ y $K$ se desplaza con los condes.
Esta categoría $\operatorname{Adj}(\mathcal C,T)$ tiene un objeto terminal La categoría Eilenberg-Moore de $T$ . El morfismo único desde cualquier otro objeto es el llamado comparación functor. Por lo tanto, por definición, una adjunción $F: \mathcal C \rightleftarrows \mathcal D :U$ es monádico si y sólo si es terminal en $\operatorname{Adj}(\mathcal C,UF)$ .
Esto le hará darse cuenta de que, en cierto sentido, la mayoría de las adjunciones no son monádicas. Por ejemplo, la categoría anterior $\operatorname{Adj}(\mathcal C,T)$ siempre tienen un objeto inicial La categoría Kleisli de $T$ . Y esta categoría es terminal sólo si cada álgebra sobre $T$ ¡es gratis! Lo cual es bastante infrecuente. Produce un montón de ejemplos de adjuntos no monádicos $$Set \rightleftarrows \text{Free algrebas over T}$$ para $T$ la mónada de los grupos, los monoides, los módulos sobre un anillo sin campo, etc.
Obsérvese que el objeto inicial y el terminal pueden ser el mismo (como en el ejemplo del Capitán Lama), pero dejando algo de "espacio" para las adjunciones no monádicas en el medio.
