Diferenciación sucesiva de una función implícita.

Question

Si$y^{1/m}+y^{-1/m}=2x$, demuestre que$$(x^2-1)y'''+3xy''+(1-m^2)y'=0$ $

Utilicé la fuerza bruta (seguí aplicando la regla de Producto y Cociente) y después de casi 3 páginas de cálculos desagradables pude obtener el resultado. Estoy buscando un enfoque mejor y más rápido. Gracias.

Answer 1

Deje$$y^{\frac 1m}=e^u\Rightarrow u=\frac 1m \ln y\Rightarrow u'=\frac 1m\left(\frac{y'}{y}\right)$ $

Entonces también tenemos$$\cosh u =x\Rightarrow u = \operatorname{arcosh} x\Rightarrow u'=(x^2-1)^{-\frac 12}$ $

Podemos reorganizar esto y cuadrar ambos lados para que$$(x^2-1)(u')^2=1\Rightarrow (x^2-1)\left(\frac 1m\left(\frac{y'}{y}\right)\right)^2=1$ $

Ahora reorganice esto como$$(x^2-1)(y')^2=m^2y^2$ $ y diferencie:$$2x(y')^2+(x^2-1)2y'y''=2m^2yy'$ $

Finalmente, cancele$2y'$ y vuelva a diferenciar:$$y'+xy''+2xy''+(x^2-1)y'''=m^2y'$ $ Y así terminamos.