Hom y tensor de la plana con módulo de

Question

Deje $A$ ser un conmutativa noetherian anillo. Deje $M, N$ $A$- módulos, y se supone que $M$ es finito $A$. Deje $P$ ser un piso $A$-módulo.

Es verdad que hay un isomorfismo $\operatorname{Hom}_A(M,N)\otimes_A P \cong \operatorname{Hom}_A(M,N\otimes_A P)$ ?

Parece que se mantiene al menos a nivel local (es decir, cuando $P$ es gratis). Es cierto en general? Si es así, hay una referencia para esto?

Gracias!

Answer 1

Aquí es condición suficiente para la obtención de la isomorfismo que después de.
Deje $A$ ser arbitraria anillo conmutativo (no se supone noetherian) y $M, N$ arbitrarias de los módulos . Tenemos un canónica de morfismos
$$ M^*\otimes_A N\to Hom (M,N):\phi \otimes n \mapsto [m\mapsto\phi(m)n] \quad (\star)$$ La proposición ($\star$) es un isomorfismo tan pronto como $M$ es finitely generado proyectiva.
Prueba:
Es un isomorfismo para $M=A$, entonces para finitely libres generados por los módulos de $M=A^r$, y finalmente para los sumandos de tal decir finitely generado projectives.

Corolario:
Tres arbitraria módulos de $M,N,P$ sobre el anillo conmutativo $A$ , $M $ finitely generado proyectiva, tenemos un isomorfismo natural
$$Hom_A(M,N)\otimes_A P \cong Hom_A(M,N\otimes_A P)$$
Prueba:
Reemplace todas las $Hom$'s $\otimes$'s y el uso de la asociatividad del producto tensor.

Editar:
a) El Corolario falla si $P$ es finitely generados pero no proyectiva.
Tomemos, por ejemplo,$A=\mathbb Z, N=\mathbb Z, M=P=\mathbb Z/(2)$.
A continuación, la mano izquierda en el Corolario es $0$ y el lado derecho es $\mathbb Z/(2)$

b) Como QiL pertinentemente los comentarios, el Corolario también falla si $P$ no se asume finitely generado.
Tomemos, por ejemplo, $N=A$ $M=P=$ a un arbitrario no finitely módulo generado.
A continuación, nuestro canónica de morfismos $u: M^*\otimes M \to Hom(M,M)$ no puede ser surjective.
De hecho, cualquier elemento $t\in M^*\otimes M$ se envía a un endomorfismo $u(t)=f:M\to M$ tal que $u(M)$ es finitely generados, por lo que la identidad de $Id_M$ $M$ nunca va a ser la imagen de $u$.