ayudar a verificar un mapa conforme entre regiones

Question

Encontrar un mapa de conformación del conjunto $\{z \in \mathbb{C}: |z|>1\}\setminus (-\infty,-1)$ en el conjunto de $\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]$.

Aquí está mi pensamiento, pero no estoy seguro de si es correcto, alguien me puede ayudar verificar mi respuesta?

1: $\frac{1}{z}$ asigna el conjunto de a $\mathbb{D}\setminus(-1,0]$.

2: $z^{1/2}$ mapas de la disco con abertura en la mitad derecha de disco.

3: girar la mitad derecha de disco de la mitad inferior del disco.

4: el mapa de $z+1/z$ mapas de la mitad inferior del disco a la mitad superior del plano.

5: gire la mitad superior del plano a la mitad derecha del plano

6: $z^2$ mapas de la mitad derecha del plano de a $\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]$

También, si alguien puede pensar en una ruta alternativa, sería agradable ver! Gracias!

Answer 1

Tu solución me parece correcta.

Hice esto primero:$z\to \sqrt z \to 1/\sqrt z.$ Eso nos deja en la mitad derecha del disco. Preferiría la mitad superior del disco, así que multiplique por$i.$ Luego aplicamos el mapa$(1+z)/(1-z),$ que nos lleva al primer cuadrante. Girar en el sentido de las agujas del reloj por$\pi/4,$, es decir, multiplicar por$e^{-i\pi /4}.$ Finalmente, el mapa$z^4$ nos coloca en el dominio deseado. La formula que tengo es

PS

Creo que estamos haciendo básicamente lo mismo.

Answer 2

La primera cosa que trabajó para mí fue el uso de la 1ª cuadrante $Q_\mathrm{I} = \{ z \in \mathbb{C} : 0 < \mathrm{arg}(z) < \frac{\pi}{2} \}$ como un intermedio de dominio.

Se puede producir una conformación bijection $f : Q_\mathrm{I} \to \mathbb{C} \setminus (-\infty,0]$ como sigue.

• $z^4$ mapas de $Q_\mathrm{I}$$\mathbb{C} \setminus [0,\infty)$.
• $-z$ mapas de $\mathbb{C} \setminus [0,\infty)$$\mathbb{C} \setminus (-\infty,0]$.

Se puede producir una conformación bijection $g: Q_\mathrm{I} \to \{z \in \mathbb{C}: |z|>1\}\setminus (-\infty,-1)$ como sigue.

• El Cayley transformar $\frac{z-i}{z+i}$ mapas de la mitad superior del plano a la unidad de disco y, restringiendo, mapas de $Q_\mathrm{I}$ a la mitad inferior del disco.
• $z^2$ mapas de la mitad inferior de disco en el disco menos $[0,1)$.
• $\frac{1}{z}$ mapas el disco menos $[0,1)$$\{z \in \mathbb{C}: |z|>1\}\setminus (1,\infty)$.
• $-z$ mapas de $\{z \in \mathbb{C}: |z|>1\}\setminus (1,\infty)$$\{z \in \mathbb{C}: |z|>1\}\setminus (-\infty, -1)$.

A continuación, puede utilizar $g \circ f^{-1}$ para obtener una conformación bijection entre los dominios deseado.

Por el camino, su enfoque parece bien, aunque yo no comprobar que el $z + \frac{1}{z}$ hace lo que usted dice.