Regla de L'Hôpital, Factoriales y Derivadas

Question

Tengo el siguiente límite $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{e^n}{n!}$. Ahora, si intento resolver esto usando la regla de L'Hôpital, no podré hacerlo ya que no puedo tomar la derivada de $n!$.

¿Cuál es la razón por la que no puedo tomar la derivada? En general, ¿por qué no puedo tomar la derivada directa de un factorial? He visto otras preguntas, pero solo quiero una respuesta más simple (para alguien en el nivel de Cálculo 1 o 2).

Gracias de antemano

Answer 1

Una derivada de la función factorial existe si puedes definir factoriales de números no enteros de una manera suave, y eso se puede hacer usando el hecho de que $n!=\int_0^\infty x^n e^{-x}\,dx$. Pero en realidad escribir una buena expresión para la derivada es otro asunto.

Sin embargo, es fácil mostrar que el límite es $0$. Piensa en lo que sucede cuando $n$, en su camino hacia $\infty$, pasa de $1000$ a $1001$, y observa que el patrón continúa: El numerador se multiplica por $e$, haciéndolo menos de $3$ veces más grande, pero el denominador se multiplica por $1001$, por lo que todo se multiplica por algo menor que $3/1001$. Y en el siguiente paso, de $1001$ a $1002, y en todos los pasos posteriores, se multiplica por algo aún más pequeño. Y esto sigue sucediendo una y otra vez cada vez que$n$aumenta en$1$.

Entonces la fracción debe acercarse a $0$.