Tengo el siguiente límite $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{e^n}{n!}$. Ahora, si intento resolver esto usando la regla de L'Hôpital, no podré hacerlo ya que no puedo tomar la derivada de $n!$.
¿Cuál es la razón por la que no puedo tomar la derivada? En general, ¿por qué no puedo tomar la derivada directa de un factorial? He visto otras preguntas, pero solo quiero una respuesta más simple (para alguien en el nivel de Cálculo 1 o 2).
Gracias de antemano
Una derivada de la función factorial existe si puedes definir factoriales de números no enteros de una manera suave, y eso se puede hacer usando el hecho de que $n!=\int_0^\infty x^n e^{-x}\,dx$. Pero en realidad escribir una buena expresión para la derivada es otro asunto.
Sin embargo, es fácil mostrar que el límite es $0$. Piensa en lo que sucede cuando $n$, en su camino hacia $\infty$, pasa de $1000$ a $1001$, y observa que el patrón continúa: El numerador se multiplica por $e$, haciéndolo menos de $3$ veces más grande, pero el denominador se multiplica por $1001$, por lo que todo se multiplica por algo menor que $3/1001$. Y en el siguiente paso, de $1001$ a $1002, y en todos los pasos posteriores, se multiplica por algo aún más pequeño. Y esto sigue sucediendo una y otra vez cada vez que $n$ aumenta en $1$.
Entonces la fracción debe acercarse a $0$.
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Quizas esto te pueda ayudar: math.stackexchange.com/questions/300526/…
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@SherlockHolmes Gracias, vi esa pregunta mientras estaba buscando. He leído sobre la función Gamma, pero no la entiendo completamente. Creo que es porque no entiendo completamente cómo funcionan (o no funcionan) los factoriales y las derivadas.
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El comentario anterior es tan bueno como se puede esperar. Las derivadas son una herramienta del cálculo, para que una derivada exista la función debe (al menos) ser continua (sobre $\mathbb{R}$); dado que la función factorial está definida sobre $\mathbb{N}$, necesitamos una forma sensata de definir la noción de derivada a través de una buena extensión a $\mathbb{R}$, la función gamma es justamente eso.
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@Squirtle Entonces, ¿la función factorial, tal como la conocemos (definida sobre ), no es continua sobre ?
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Por supuesto, no es continua en $\mathbb{R}$, porque no está definida para valores no enteros. A menudo los físicos (y algunos matemáticos) hablarán sobre la definición de cosas como $(\frac{1}{2})!$ pero de hecho esto es un abuso de notación y lo que realmente están discutiendo es la función gamma en los racionales (en este caso $0.5$).
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@Squirtle ¡Gracias! ¡Sí, eso es exactamente lo que me confundió!
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Lo siento, es $\Gamma(n+1)=n!$ para $n\in \mathbb{N}$ por lo que $\Gamma(1.5)=(\frac{1}{2})!$ (cuando abusamos de la notación). En el comentario anterior abusé de la notación abusada.