¿Cuál es el valor máximo de$x (1-x^2)$ para$0 < x <1$?

Question

Ya se nos ha enseñado acerca de AM-GM de la desigualdad, que decidió utilizar el método sin embargo estoy consiguiendo dos respuestas diferentes por métodos ligeramente diferentes.

Método 1 $$\begin{equation} v=x (1-x^2)$ \implies v^2=x^2 (1-x^2)^2 \end{equation}$$ El uso de la AM-GM-desigualdad obtenemos $$\begin{equation} x^2+(1-x^2)+(1+x)+(1-x) >4 (v^2)^{\frac{1}{4}} \implies \frac{9}{16} \ge v. \end{equation}$$ Por lo tanto, el valor máximo es $\frac{9}{16}$.

Método 2 $$v=x (1-x^2) \implica 2v^2= 2x^2 (1-x^2)^2$$ Con el AM-GM-desigualdad $$2x^2+(1-x^2)+(1-x^2) >3 (2v^2)^{\frac{1}{3}} \implica \frac{2}{(27)^{\frac{1}{2}}} > v.$$

Answer 1

Deje $x=\frac{a}{\sqrt3}.$

Así, por AM-GM $$x(1-x^2)=\frac{1}{3\sqrt3}(3a-a^3)=\frac{1}{3\sqrt3}(2-(a^3+2-3a))\leq $$\leq\frac{1}{3\sqrt3}(2-(3\sqrt[3]{a^3\cdot1^2}-3a))=\frac{2}{3\sqrt3}. La igualdad se produce para $a=1$ o $x=\frac{1}{\sqrt3},$ que dice que obtuvimos un valor máximo.

Podemos usar AM-GM también de la siguiente manera. $$x(1-x^2)=\sqrt{\frac{1}{2}\cdot2x^2(1-x^2)^2}\leq $$\leq\sqrt{\frac{1}{2}\left(\frac{2x^2+1-x^2+1-x^2}{3}\right)^3}=\frac{2}{3\sqrt3}.

Answer 2

Aviso de la A. M/G. M teorema dice:

$a_1 + a_2 + .. + a_n \ge n\sqrt[n]{a_1a_2...a_n}$. Y que $a_1 + a_2 + .. + a_n = n\sqrt[n]{a_1a_2...a_n}$ si y SÓLO SI $a_1 = a_2 = .... = a_n$.

Los cálculos de las desigualdades eran correctos. Pero se ignoran los requisitos para la igualdad.

Por sus cálculos.

$v \le \frac 9{16}$ ... lo cual es cierto.

Y $v = \frac 9{16}$ si y sólo si $x^2 = 1 -x^2 = 1+x = 1-x$. .... que nunca sucede. Como que nunca es posible, sabemos que $v$ no siempre la igualdad de $\frac 9{16}$ . Pero sabemos que $v < \frac 9{16}$ siempre. Así que esto es una cota superior de a$v$.

Pero no tiene que ser una máxima. Si un máximo existe está a menos de $\frac 9{16}$.

Eso es .... todos los verdaderos.

También por sus cálculos.

$v \le \frac {2}{27^{\frac 12}} = \frac 2{3\sqrt 3} < \frac 9{16}$.

Y $v = \frac 2{3\sqrt 3}$ si y sólo si $2x^2 = 1-x^2 =1-x^2$ o si y sólo si $x =\pm \frac 1{\sqrt 3}$.

Como es posible si $x = \frac 1{\sqrt 3}$. Así que tenemos $v \le \frac 2{3\sqrt 3}$ con la celebración de igualdad si y sólo si $x = \frac 1{\sqrt 3}$.

Así que es el valor máximo.

$v \le \frac 2{3\sqrt 3} < \frac 9{16}$.

Answer 3

Insinuación:

PS

para $$\dfrac{ax+b(1+x)+c(1-x)}3\ge ?$

Establecer $a,b,c>0$

La igualdad ocurrirá si $a+b-c=0\ \ \ \ (1)$ (por ejemplo)

Ponga los valores de $ax=b(x+1)=c(x-1)=k$ en $a,b,c$