La prueba de$C_c^\infty(\Omega)$ no está completa

Question

Deje que$\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$ sea un dominio.

¿Cómo puedo probar que$C_c^\infty(\Omega)$ (con la topología habitual) no se completa secuencialmente?

No creo haber visto nunca una prueba de esta afirmación. Supongo que la idea es construir una secuencia de funciones con soportes crecientes y pequeñas diferencias, pero no sé cómo hacerlo.

Answer 1

Deje que nosotros lo hagamos $C^\infty_c(\mathbb{R})$ primera. Con la ayuda de $e^{-\frac{1}{x^2}}$, se puede construir, para cada $n$ $C^\infty_c$ función de $f_n$ tal que $f_n(x)=0$$|x|\geq n+1$, e $f_n(x)=1$$|x|\leq n$.

Ahora, para cada compacto $K$ en $\mathbb{R}$, $K$ está delimitado, de modo que existe $N$ tal que $K\subseteq [-N,N]$. Así que para todos los $n,m\geq N$ y todos los $x\in K$,$f_n(x)=f_m(x)=1$. Por lo tanto $\sup_K|f_n^{(j)}(x)-f_m^{(j)}(x)|=0$ todos los $j$ y todos los $n,m\geq N$.

Así que este una secuencia de Cauchy para la topología de convergencia compacta. Pero el pointwise límite es la función constante igual a $1$, que no es compacta compatible. Por lo $C^\infty_c(\mathbb{R})$ no es secuencialmente completo.

Trabajando con $e^{-\frac{1}{\|x\|^2}}$ $\mathbb{R}^n$ y con bolas en vez de intervalos, se obtiene un muy similat prueba para $C^\infty_c(\mathbb{R}^n)$.

Para el caso $C^\infty_c(\Omega)$, necesitamos un compacto de agotamiento de $\Omega=\bigcup_{l\geq 1}K_l$ tal que $K_l$ está contenida en el interior de $K_{l+1}$ por cada $l$. Después construimos para cada una de las $l$ $C^\infty_c$ función de $f_l$ tal que $f_l=1$$K_l$$0$$K_{l+1}^c$. Esto es más difícil. Se puede hacer mediante la convolución. Aún con la ayuda de la función exponencial. Esta secuencia es de Cauchy de nuevo, pero converge pointwise a la función constante igual a $1$.

Answer 2

La respuesta depende de lo que quiere decir con "la topología habitual". Dieudonne y Schwartz inventaron los espacios LF para tener una topología convexa local completa en$\mathscr D(\Omega)=C^\infty_c(\Omega)$.

De todos modos,$C^\infty_c(\Omega)$ dotado con la topología de convergencia uniforme en conjuntos compactos de todos los derivados no está completo porque es denso en$C^\infty(\Omega)$ (con la misma topología) pero claramente diferente.

Answer 3

Convolucione una función continua no diferenciable con una familia de aproximaciones a la identidad$C^{\infty}$. Cada convolución será$C^{\infty}$ pero el límite no lo será.

Answer 4

Lo ilustramos en el caso$\Omega=\mathbb{R}$. Tome una función que no sea cero$\varphi\in C^\infty_c(\mathbb{R})$ cuyo soporte sea pequeño y concentrado cerca de$0$, y considere la secuencia \begin{equation} \varphi_k(x) = \varphi(x) + 2^{-1}\varphi(x-1) + \ldots + 2^{-k}\varphi(x-k), \qquad k=1,2,\ldots. \end {equation} Obviamente, esta secuencia es Cauchy con respecto a las seminormas$\|\cdot\|_{C^m(\mathbb{R})}$ , pero el soporte de la función límite no es compacto.