¿Por qué son los números primos es considerado el "bloques de construcción" de los números enteros?

Question

He visto el vídeo de Terence Tao en Stephen Colbert, el otro día (aquí), y dijo, como muchos matemáticos, que los números primos son los bloques de construcción de los números enteros.

Siempre he tenido problemas con esta idea, porque yo no creo que sea un filosóficamente sonido idea.

Voy a empezar diciendo que el argumento básico: Un número entero puede expresarse como un producto de menor enteros o no. Si no, se llama "prime".

Pero se podría decir lo mismo acerca de los poderes: Un número entero se puede expresar como (bueno, yo no soy un matemático y ahora estoy en una pérdida para las palabras) de alimentación de la cadena de enteros o no. Si no, se llama (no sé cuál es el nombre podría ser) "poder-prime". Por ejemplo, 16 = 2^2^2, por lo que es de potencia-compuesto, mientras que el 2 no puede ser expresado con poderes, por lo que es el poder-prime.

De nuevo, se podría decir lo mismo acerca de la adición de Un número entero se puede expresar como una suma de números enteros o no. Si se puede, se llama un número entero. Si no, que se llama "unidad", supongo, porque cada número entero se puede expresar como una suma de 1! Así que, en verdad, la unidad es el bloque de construcción de los números enteros.

Así que, creo que no hay nada de verdad en la idea de que los números primos son los bloques de construcción de los números enteros. Yo creo que es sólo una expresión de un ser humano preferencia para la multiplicación ya que la multiplicación es lo suficientemente complicado como para ser interesante para nosotros (a diferencia de la adición), pero no tan complicada que es desconcertante (poderes). O tal vez porque la notación que usamos para expresar poderes no utilice explícita del operador, nadie se ha dado cuenta de que se puede tratar a los poderes de forma análoga a la multiplicación en una situación como esta. Sólo un par de teorías.

Tengo curiosidad de saber lo que la investigación ha sido realizado en esta área. Apuesto a que la energía de los números primos tienen un montón de propiedades interesantes.

Aclaración de lo que quiero decir con "power-prime":

Solo estoy hablando de la factorización de enteros utilizando el operador de exponenciación en lugar de que el operador de multiplicación.

Pido disculpas por el uso de la fea término "poder-prime", pero no sé de qué se llama oficialmente. Yo no sé ni qué llamar a un montón de números que se combinan por la exponenciación! Un montón de números combinados por la adición se llama una "suma". Los números se combinan mediante la multiplicación se llama un "producto". ¿Cuál es el término para una serie de números combinados por la exponenciación? Estoy teniendo un gran lapsus de memoria, porque siento que debo saber lo que es.

Voy a hacer una tabla porque los ejemplos son más fáciles de entender. Voy a usar el símbolo de intercalación ^ carácter para la exponenciación (2^2 = $2^2$).

n   factoring  name
1
2              p-prime
3              p-prime
4   2^2        p-composite
5              p-prime
6              p-prime
7              p-prime
8   2^3        p-composite
9   3^2        p-composite
10             p-prime
11             p-prime
12             p-prime
13             p-prime
14             p-prime
15             p-prime
16  2^2^2      p-composite
17             p-prime
18             p-prime
19             p-prime
20             p-prime
21             p-prime
22             p-prime
23             p-prime
24             p-prime
25  5^2        p-composite
26             p-prime
27  3^3        p-composite
28             p-prime
29             p-prime
30             p-prime
31             p-prime
32  2^5        p-composite

A ver, cada número natural es cualquiera de los p-prime o una combinación de p-primos (a través de la exponenciación). No sé si cada uno de estos factorings es único, ya que, como fue mencionado por Pete, es altamente no-evidente. Yo, sinceramente, no creo que el Teorema Fundamental de la Aritmética ayuda aquí porque exponenciación no es conmutativa, pero puedo estar equivocado. También es de destacar que nuestro habitual operador de exponenciación es derecho asociativo. A la izquierda asociativo exponente daría un poco diferente de la tabla, ya que por ejemplo (2^2)^3 $\ne$ 2^(2^3).

Answer 1

Esa declaración, acerca de los números primos ser los bloques de construcción de los números enteros, no es una declaración filosófica, ni una expresión de la preferencia. Es, en cambio, un ser humano abreviatura de una precisa teorema matemático, conocido como el "único teorema de factorización":

• Cada número natural $\ge 2$ se puede expresar como un producto de una secuencia de prime números naturales, y que producto de la expresión es única siempre, como está escrito en orden no decreciente.

Así, por ejemplo, $16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$, $24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$, $300 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5$.

Usted puede ver que esta norma incorpora "la energía de los números primos", permitiendo que el primer número que se repite en el producto de la expresión. Así que eso de que esta declaración se refiere, no hay ninguna distinción necesaria para el primer poderes.

Eso no quiere decir que no hay nada especial en absoluto sobre el primer poderes. Ellos vienen en muchas otras investigaciones de la teoría de números.

Answer 2

Pete respuesta incluye esto, pero creo que vale la pena mencionar como una respuesta solo porque creo que es el quid:

Los números primos son los multiplicativo de bloques de construcción de los números enteros

Esta es una alusión a la única teorema de factorización.

Para mejorar la precisión del Tao de la declaración, podríamos decir que los números primos son "un posible conjunto de bloques de construcción de los números enteros". Ellos no son la única manera de generar los números enteros: uno puede, por supuesto, en lugar de hacer eso, como dijo usted, 1 y adición (junto con cualquiera de -1 o resta para incluir los números enteros negativos).

Básicamente, si usted construye los números enteros como un sistema de Peano, a continuación, el bloque de construcción es el sucesor de operación (añadiendo 1). Si se construyen con la multiplicación, a continuación, usted tiene un conjunto de bloques, el de los números primos. Estamos discutiendo acerca de la palabra "la" frente a la palabra "un", que se trata de contexto.

El interesante la cosa acerca de su construcción con la multiplicación es que el conjunto de bloques de construcción, tiene muchas propiedades no triviales. La distribución de los números primos dentro de los números enteros es interesante y difícil. La distribución de "el set contiene 1 y nada más" dentro de los enteros es trivial: es el que está en el principio, después de 0, y nada más! Así que no es que los matemáticos prefieren la multiplicación, es que el trabajo sobre los problemas que encuentran interesante. Y muy rápidamente, resolver los que no son difíciles, por lo que "muy interesante y difícil" son condiciones necesarias para que las cosas que estudio.

En cuanto a "¿por qué no poder-de los números primos?", Yo sospecho (pero no estoy seguro) que en la mayoría de las aplicaciones de las propiedades útiles de su poder-descomposición puede ser convenientemente expresadas en términos de multiplicación-descomposición de todos modos. Por ejemplo, si estoy interesado en $19683 = {(3^3)}^3$ entonces yo podría en su lugar, observe que es igual a $3^9$ y trabajar con eso. Un número es la potencia-compuesto (es decir, "poder") si y sólo si el máximo común divisor de todos los exponentes en su descomposición en factores primos, no 1. Es decir, si todos los exponentes son incluso (como $324 = 2^2.3^4$: $2$ y $4$ son aún), entonces es un cuadrado (${(2.3^2)}^2$ en mi ejemplo). Si todos los exponentes son divisibles por 3, entonces es un cubo, y así sucesivamente. A la pregunta de qué son los números poderes es interesante, pero es frecuentemente estudiado mirando su primer factorizations, por lo que los números primos siguen siendo importantes en ese contexto también. Parece probable que usted tendría que estudiar el poder-de los números primos , así como los números primos, no en lugar de.

Answer 3

Pero se podría decir lo mismo acerca de los poderes: Un número entero se puede expresar como (bueno, yo no soy un matemático y ahora estoy en una pérdida para las palabras) de alimentación de la cadena de enteros o no. Si no, se llama (no sé cuál es el nombre podría ser) "poder-prime". Por ejemplo, 16 = 2^2^2, por lo que es de potencia-compuesto, mientras que el 2 no puede ser expresado con poderes, por lo que es el poder-prime.

Seguro. Pero entonces, ¿qué?

Sé que va a sonar como una muy impertinente la pregunta, pero - a mi juicio - es la base de la respuesta real. Me importa acerca de los números primos, porque - y aquí está un teorema - cada número se puede escribir como un producto de ellos, y de hecho en una manera única. Eso es una increíblemente útil de la propiedad en un montón de maneras: a mí me dice que si quiero, puedo entender un número, que puede romper ese número en trozos más pequeños y, a continuación, sólo entienden de esas piezas.

He aquí un ejemplo muy simple de cómo la comprensión de las piezas que pueden ser útiles: ¿cuál es el máximo común divisor de $392040$ y $74844$? ¿Cuál es su producto? ¿Qué se obtiene al dividir el primero por el segundo? No tengo ni idea, personalmente, y no tengo muchas ganas de trabajar.

Ahora, ¿cuál es el máximo común divisor de los siguientes dos números? $$2^3\times 3^4\5 veces^1\times 7^0\times 11^2$$ $$2^2\veces 3^5\times 5^0\times 7^1\times 11^1$$ Sin ningún pensamiento, inmediatamente se puede escribir la respuesta $$2^2\times 3^4\times 5^0\times 7^0\times 11^1$$ simplemente tomando cada factor principal en la vuelta. La multiplicación de ellos es igual de fácil: $$2^5\times 3^9\times 5^1\times 7^1\times 11^3$$ Y así es dividir el primero por el segundo: $$2^1\times 3^{-1}\times 5^1\times 7^{-1}\times 11^1$$ $$(= \tfrac{2\times 5\times 11}{3\times 7})$$ Y por supuesto, como te habrás adivinado, el primer par de números que te di, y el segundo par que eran en realidad el mismo par de números, pero la segunda vez me la di en niza de piezas sencillas en lugar de en feo, difícil de entender, de grumos.

Eso no quiere decir romper cosas en factores primos hace las cosas más simples, todo el tiempo. De hecho, mientras que la multiplicación es genial, además es una pesadilla: lo $(2^3\times 3^4\5 veces^1\times 7^0\times 11^2) + 5$? (Resulta que es de $5\times 89\times 881$, pero me había de engañar y ejecutar a través de mi equipo a trabajar en eso.)

Hay mucho ejemplos más sofisticados de donde utilizamos este primer teorema de factorización en la teoría de números y criptografía. Pero en última instancia, todo se reduce a lo siguiente: nos preocupamos por los números primos porque son útiles. Son una especie de multiplicativa equivalente de la cuenta (que hizo de este punto sí mismo, y estoy de acuerdo). La afirmación de que son los "bloques de construcción de los números enteros" es leve, el sensacionalismo, pero se puede ver por encima de lo fundamental que son en cosas como la estructura multiplicativa de los números enteros.

Tal vez el poder-primalidad es útil. ¿Me puedes mostrar por qué? :)

Answer 4

1. De una cosa estoy de acuerdo, ya que es absolutamente cierto que los enteros se generan como un aditivo grupo 1, y que esto es importante. Cuando decimos que los números primos son los "bloques de construcción", queremos decir que nos dicen algo acerca de la estructura multiplicativa de los números enteros.

2. Si hemos entendido todos los números primos perfectamente (dicen que si nosotros había un oráculo que nos dijo lo de la $k$th primer número), entonces hemos de entender todo el poder-los primos de la perfección. Son precisamente los números cuyo primer factorizations no son poderes de un primo. Así que, de hecho yo no estoy de acuerdo con tu argumento de que hay infinitamente muchos interesantes las operaciones podremos poner en los enteros (que son compatibles con la estructura aditiva) y cada uno de ellos generar misterioso conjuntos de "números primos."

3. Supongo que se podría decir "los números primos son los bloques de construcción de la estructura multiplicativa de los números enteros y el bloque de construcción de la estructura aditiva es el número 1" y esto sería más preciso que la declaración se cita! No creo que la declaración como generalmente se dice es engañoso, aunque, sólo el breve, es una metáfora de todos modos.