Básicamente, mi pregunta es:
¿Por qué el énfasis en los dominios de la noción de multicategory?
Ahora voy a dar el marco formal para decirlo correctamente.
Pasando de las categorías a multicategories puede hacerse simplemente por mirar la definición interna de una categoría: son los datos de dos conjuntos de $C_1,C_0$ y mapas de $s,t \colon C_1 \rightrightarrows C_0$ $i \colon C_0 \to C_1$ tal que $si = ti = \mathrm{id}_{C_0}$ junto con una composición en función de $m \colon C_1 \times_{s,t} C_1 \to C_1$ la satisfacción de algunos axiomas (asociatividad de la composición y la neutralidad de las identidades. Si queremos multicategories, queremos morfismos con múltiples fuentes, por lo que acabamos de cambiar la definición, de modo que el origen de la función $s$ tener en cuenta: un multicategory es la de datos de $$ C_0^\ast \stackrel s \leftarrow C_1 \stackrel t \to C_0$$ (donde $A^\ast$ es el conjunto finito de palabras en un conjunto $A$) y un mapa de la $i \colon C_0 \to C_1$ tal que $ti = \mathrm{id}_{C_0}$ $si = (C_0 \hookrightarrow C_0^\ast)$ junto con una composición $m \colon C_1^\ast \times_{t^\ast,s} C_1 \to C_0$ la satisfacción de algunos axiomas.
Ahora, tomar un buen vistazo a lo que hicimos nos lleve a una mayor generalidad. Considere la posibilidad de una categoría $\mathcal E$ con pullbacks y cartesiano mónada $\mathbf T = (T,\mu,\eta)$$\mathcal E$. Para $O$ un objeto de $\mathcal E$, definir la categoría de " $\mathrm{Gr_{\mathbf T}}(O)$ $\mathbf T$- gráficos sobre $O$ a la totalidad de la subcategoría de los tramos de $\mathcal E$ generado por los de la forma $$ TO \stackrel s \leftarrow M \stackrel t \to O.$$ A continuación, $\mathrm{Gr_{\mathbf T}}(O)$ es monoidal: el producto tensor de $TO \stackrel s \leftarrow M \stackrel t \to O$ $TO \stackrel {s'} \leftarrow M' \stackrel {t'} \to O$ se define como sigue $$\requieren{AMScd} \begin{CD} M'\otimes M @>>> M @>t>> O \\ @VVV \lrcorner @VVsV \\ TM' @>>Tt'> TO \\ @VTs'VV \\ TTO \\ @V\mu VV \\ TO \end{CD} $$ donde la plaza es cartesiano. Ahora un $\mathbf T$-categoría es sólo un monoid en que categoría monoidal. Tome $\mathcal E = \mathsf{Set}$ y, o bien $T = \mathrm{id}_{\mathsf{Set}}$ o $T = (A \mapsto A^\ast)$ para obtener la noción clásica de (pequeños) de la categoría y multicategory.
Pero, ¿por qué es $T$ que actúa sobre el lado de la fuente? Es completamente rompe algunas útiles herramientas clásicas, como el opuesto de la categoría functor. Mis dos centavos sería definir $\mathbf {T,S}$-categorías como sigue. Como antes tenemos una categoría $\mathcal E$ con pullbacks, ahora equipado con dos cartesiano mónadas $\mathbf T= (T,\mu_t,\eta_t)$ $\mathbf S=(S,\mu_s,\eta_S)$ junto con un distributiva de la ley de $\lambda \colon TS \to ST$. Entonces para cualquier $O \in \mathcal E$ definir $\mathrm{Gr}_{\mathbf {T,S,\lambda}}(O)$ a ser la subcategoría de la categoría de vinculaciones en los objetos de la forma $$ TO \stackrel s \leftarrow M \stackrel t \to SO. $$ Uno puede hacer es monoidal: el producto tensor de $TO \stackrel s \leftarrow M \stackrel t \to SO$ $TO \stackrel {s'} \leftarrow M' \stackrel {t'} \to SO$ está dado por $$\requieren{AMScd} \begin{CD} M'\otimes M @>>> \to @>>> SM @>St>> SSO @>\mu_S>> SO \\ @VVV \lrcorner @. @VVSsV \\ TM' @>>Tt'> TSO @>>\lambda_O> STO \\ @VTs'VV \\ TTO \\ @V\mu VV \\ TO \end{CD} $$ y definir un $\mathbf{T,S,\lambda}$-categoría como un monoid en tal categoría.
Busqué en google a su alrededor y no encontrar ninguna referencia de esta última noción. Es que hay alguna? ¿Cuál es el nombre habitual para este concepto? (O es mi idea completamente equivocada por alguna razón?)
