Forma cerrada de $\arccos\left(\frac{2 \pi}{2^N}\right)$

Question

¿Existe una forma cerrada para $\arccos\left(\dfrac{2 \pi}{2^N}\right)$ en términos de $N \in \mathbb{Z}, N \ge 3$ ?

No soy súper optimista, pero tampoco sé cómo empezar a explorar el problema.

Answer 1

$$\arccos z= \frac {\pi} {2} - \left( z + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^5} {5} + \cdots\ \right) = $$ $$=\frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \frac {\binom{2n} n z^{2n+1}} {4^n (2n+1)}; \qquad | z | \le 1 $$

Answer 2

Estos son un poco triviales, pero tal vez sean lo suficientemente cerrados para usted:

$$\arccos(z) = i \cdot \log\left(z - i\sqrt{1-z^2}\right)$$

o

$$\arccos(z) = \int_z^1 \dfrac{dz}{\sqrt{1-z^2}}$$