Una unión representada como una unión disjunta: ¿más débil que la elección?

Question

Mientras miraba este problema , estaba pensando en la afirmación más general:

Para todos los conjuntos $I,X$ y $U:I\to \mathcal P(X)$ el conjunto de potencias de $X$ existe un $V:I\to \mathcal P(X)$ con la propiedad de que para todo $i\in I$ , $V_i\subseteq U_i$ para todos $i,j\in I, i\neq j: V_i \cap V_j=\emptyset$ y $$\bigcup_{i\in I} U_i = \bigcup_{i\in I} V_i$$ .

Obviamente, si se tiene el axioma de elección, se puede ordenar bien $I$ Y se obtiene este resultado por el razonamiento de la respuesta a esa otra pregunta. Pero, ¿este resultado implica la elección, o es más débil?

Si implica elección, parece que quizás el enfoque más directo sería demostrar que implica el lema de Zorn. Pero me cuesta demostrar una cosa u otra.

Answer 1

Son equivalentes. Supongamos que $\{ X_i \}_{i \in I}$ es una familia de conjuntos no vacíos y disjuntos entre sí, y $X = \bigcup_{i \in I} X_i$ . Para cada $x \in X_i$ definir $A_x = \{ i \}$ . Tomemos ahora una familia disjunta por pares $\{ B_x \}_{x \in X}$ con $B_x \subseteq A_x$ y $\bigcup_{x \in X} B_x = \bigcup_{x \in X} A_x = I$ . Para cada $i \in I$ elija el único $x \in X_i$ tal que $B_x \neq \emptyset$ . Esta es su función de elección para $\{ X_i \}_{i \in I}$ .