Propiedad de$10\times 10 $ matriz

Question

Deje que$A$ sea una matriz$10 \times 10$ tal que cada entrada sea$1$ o$-1$. ¿Es cierto que$\det(A)$ es divisible entre$2^9$?

Answer 1

Respuesta basada en los comentarios de Ludolila y Erick Wong como respuesta:

La respuesta se desprende de tres fácilmente demostrado reglas:

1. La adición o sustracción de una fila de una matriz a partir de otra no cambia su determinante.
2. La multiplicación de un renglón de la matriz por un constante $c$ multiplica el factor determinante por el constante.
3. El determinante de una matriz con el entero de las entradas es un número entero.

Tome una matriz de $A=(a_{ij})\in M_{10}(\mathbb{R})$ de manera tal que todas sus entradas son o $1$ o $-1$. Si $a_{11}=-1$, se multiplica la primera línea por $-1$. Para $2\le i\le10$, restar $a_{i1}(a_{1\to})$ (donde $a_{1\to}$ es la primera fila de $A$)$a_{i\to}$.

Ahora todas las filas que constan sólo de $0$'s y $\pm2$'s. Dividir cada una de estas filas por $2$ para obtener una matriz $B$ que ha entradas sólo en $\{-1,0,1\}$.

Tenga en cuenta que $\det B = \pm 2^{-9} \det A$ siguientes reglas 1 y 2.

Siguiente regla de 3, $\det B$ es un número entero, por lo $\det A = 2^9 \cdot n$ donde $n$ es un número entero.