Es `1+101=110` una proposición?

Question

Hay una pregunta en un libro: si 1+101=110 es una proposición o no.

El autor dijo que no es una proposición, ya que es cierto que si los números son binarios, es falso si los números son decimales. Así que no podemos averiguar si es cierto o falso, que no es una proposición.

Pero en el libro de "Matemática Discreta y Sus Aplicaciones", dice 1+1=2 es la proposición:

Si 1+101=110 no es una proposición, que 1+101=102 no debe ser una proposición, que 1+1=2 no debe ser una proposición.

Estoy confundido acerca de esta pregunta y la respuesta, cómo entender correctamente?

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Actualización

Traté de traducir el texto original en inglés, lo siento por mi pobre inglés.

Voy a dar algunos ejemplos para explicar el concepto de la proposición.

1. Los chinos son grandes
2. La nieve es de color negro
3. 1+101=110
4. Hay cosas de la vida en otras estrellas
5. A todos ustedes, de pie en la atención！
6. Vamos a tener una reunión de mañana?
7. Lo que un buen día!
8. Yo estoy mintiendo.
9. Voy a aprender inglés o Japonés.
10. Si hace sol, voy a ir a dar un paseo.

Para los ejemplos de arriba, (1)(2)(4)(9)(10) son proposiciones. Para (4), aunque no sabemos si es cierto o falso, por ahora, pero vamos a saber algún día, así que podemos decir que es una proposición. (3) es verdadera si son binarios, false si son decimales, por lo que el valor de verdad es dependía del contexto.

Answer 1

Me imagino que como Cameron dijo, el libro significa que una proposición es una oración declarativa cuya verdad o falsedad no depende del contexto en el que se evalúa. Esta es una bonita definición difusa de "la proposición", y se podría argumentar que el libro está aplicando de forma incorrecta. Por ejemplo:

• La verdad de la frase "de Washington, DC es la capital de los Estados unidos de América" depende del momento en que se evalúa. El NOS ha tenido varias otras capitales de su historia.

• La verdad de la oración "la nieve es negra" depende de si es de noche y si hay humo contaminado fábricas cercanas.

• Creo que no está justificado decir que algún día vamos a saber si hay cosas de la vida en otras estrellas; también, incluso si nos encontramos con algo, puede ser en el límite de lo que consideramos "la vida".

• La verdad de la frase "voy a aprender inglés o en Japonés," depende de que el altavoz, y también en la información no disponible en el momento en que se habla.

En cualquier caso, esta definición de "la proposición" no es lo suficientemente precisa para ser considerado matemática. Yo no soy consciente de que cualquier matemáticamente precisa definición de "proposición" que se aplica a oraciones en lenguaje natural.

Answer 2

$1+101=102$ $1+1=2$ son verdaderas en cada base en la que $2$ está disponible para ser utilizado, y no son ni sensibles en binario (por lo que no falsa). Por lo tanto, son contexto-independiente (dejando de lado el contexto que llevan con ellos) en su valor de verdad.

Por el contrario, $1+101=110$ es sensible en todas las bases, pero sólo es cierto en binario, y false en todos los demás. El contexto es esencial aquí, y las no especificadas por la norma.

Sospecho que es lo que se entiende por "proposición" vs "no es una proposición."

Answer 3

Una proposición es una idea. El lenguaje es necesario para comunicar ideas. Si un idioma no ha sido acordado por las dos partes, que no pueden comunicarse. Por lo tanto, las proposiciones requieren de un lenguaje que ha sido acordado para ser comunicada.

En el caso de "1 + 101 = 110", hasta que un idioma se define para comunicar la idea de que es imposible para que esto sea una proposición. Tan pronto como el lenguaje se define, va a ser una proposición.