De acuerdo a Gamelin $\textit{Complex Analysis}$, de un número finito de Blaschke producto es una función racional de la forma $B(z)= e^{i \varphi} (\frac{z-a_1}{1-\bar{a_1} z} \cdots \frac{z-a_n}{1-\bar{a_n} z})$ donde$a_1, ..., a_n \in \mathbb{D}$$0 \leq \varphi \leq 2\pi$. Del mismo modo, me imagino que un infinito Blaschke producto sería de la forma $e^{i \varphi} \prod_{n=1}^\infty\frac{z-a_n}{1-\bar{a_n} z}$. Creo que esto se supone que para satisfacer lo que se conoce como la Blaschke condición, es decir,$\sum_{n=1}^\infty (1-|a_n|) < \infty$, pero, ¿cómo es eso? Esto puede ser verificado utilizando la función de registro en el infinito del producto?
Respuesta
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En realidad, el infinito Blaschke producto, para$|a_n|\le1$$|z|<1$, se define como $$ e^{i\varphi}\prod_{n=1}^\infty\frac{|a_n|}{a_n}\frac{z-a_n}{\overline{a}_n z-1}\etiqueta{1} $$ El factor de $\;{-}\dfrac{|a_n|}{a_n}$ simplemente rota $\dfrac{z-a_n}{1-\overline{a}_n z}$, lo que, para finito de productos, se ha incorporado $e^{i\varphi}$. Sin embargo, para el infinito de los productos, es necesaria para la convergencia.
En primer lugar, tenga en cuenta que $$ \begin{align} \frac{|a_n|}{a_n}\frac{z-a_n}{\overline{a}_n z-1} &=|a_n|\frac{z-a_n}{|a_n|^2 z-a_n}\\ &=(1-(1-|a_n|))\left(1+\frac{z(1-|a_n|^2)}{|a_n|^2 z-a_n}\right)\\ &=(1-(1-|a_n|))\left(1+\frac{z(1+|a_n|)}{|a_n|^2\left(z-\frac{1}{\overline{a}_n}\right)}(1-|a_n|)\right)\tag{2} \end{align} $$ donde $$ \begin{align} \left|\frac{z(1+|a_n|)}{|a_n|^2\left(z-\frac{1}{\overline{a}_n}\right)}\right| &\le\frac{1+|a_n|}{|a_n|^2}\frac{|z|}{1-|z|}\\ &\le6\frac{|z|}{1-|z|}\tag{3} \end{align} $$ al $|a_n|\ge\frac12$.
Ecuaciones $(2)$ $(3)$ decir que el infinito producto en $(1)$ converge absolutamente al $|z|<1$ y $$ \sum_{n=1}^\infty(1-|a_n|)\etiqueta{4} $$ converge. Es decir, el infinito producto $\prod\limits_{n=1}^\infty(1+z_n)$ converge absolutamente al $\sum\limits_{n=1}^\infty|z_n|$ converge.
