Valor de $\sin (2^\circ)\cdot \sin (4^\circ)\cdot \sin (6^\circ)\cdots \sin (90^\circ) $

Question

¿Cómo puedo calcular el valor de

1. $\sin (1^\circ)\cdot \sin (3^\circ)\cdot \sin (5^\circ)\cdots \sin (89^\circ)$

2. $\sin (2^\circ)\cdot \sin (4^\circ)\cdot \sin (6^\circ)\cdots \sin (90^\circ)$

Mi solución: Vamos a $$A = \sin (1^\circ)\cdot \sin (3^\circ)\cdot \sin (5^\circ)\cdots \sin (89^\circ)$$

$$B = \sin (2^\circ)\cdot \sin (4^\circ)\cdot \sin (6^\circ)\cdots \sin (90^\circ)$$

Ahora $$ \begin{eqnarray} A\cdot B &=& (\sin 1^\circ \cdot \sin 89^\circ)\cdot (\sin2^\circ\cdot \sin 88^\circ)\cdots(\sin 44^\circ\cdot \sin 46^\circ) \cdot \sin 45^\circ \\ &=& (\sin 1^\circ\cdot \cos1^\circ)\cdot (\sin2^\circ\cdot \cos 2^\circ)\cdots(\sin 44^\circ\cdot \cos 44^\circ)\cdot \sin 45^\circ \\ &=& \frac{1}{2^{44}}\left[\sin(2^\circ)\cdot \sin (4^\circ)\cdots \sin(88^\circ) \cdot \sin (90^\circ)\right]\cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \\ &=& \frac{1}{2^{\frac{89}{2}}}\cdot B \end{eqnarray} $$

Lo que implica que $$B\cdot \left(A-2^{-\frac{89}{2}}\right) = 0$$

Por lo $A = 2^{-\frac{89}{2}}$ porque $B\neq 0$.

Pero no entiendo cómo puedo calcular el valor de $B$. Podemos calcular estos valores con el uso de los números complejos?

Answer 1

El uso de la identidad $$\prod_{k=1}^{n-1}\sin \left( \frac{k\pi}{n}\right) = \frac{n}{2^{n-1}} \tag{1}$$ Poner a $n=180$, da $$ \left(\sin (1^\circ)\sin (2^\circ)\dots \sin (89^\circ)\right)^2= \frac{180}{2^{179}} \tag{2}$$ El valor de $$\boxed{ \sin(2^{\circ})\sin(4^{\circ}) \dots \sin(90^{\circ}) = \sqrt{\frac{180}{2^{179}}}\div \sqrt{\frac 1 {2^{89}}} = \sqrt{\frac{180}{2^{90}}}} \tag{3}$$

El valor parece estar de acuerdo con el valor calculado. La prueba de la identidad de $(1)$ se puede encontrar al final de este pdf.