Es cierto que una función es analítica si se satisface el de Cauchy-Riemann ecuaciones? Estoy leyendo Freitag del Análisis Complejo y se me pide que muestran que ${\partial f\over \partial \bar{z}}=0$ fib $f$ es analítica. Es esto debido a que $f$ es analítica si se satisface la CR ecuaciones iff ${\partial f\over \partial \bar{z}}=0$? (Es obvio que $f$ satisface CR $\implies {\partial f\over \partial \bar{z}}=0$ pero, ¿qué acerca de las otras relaciones? Es cierto? Sé que si una función es analítica, ésta debe cumplir CR ecuaciones, pero no sé si la otra dirección es verdadera o si ${\partial f\over \partial \bar{z}}=0$ significa necesariamente que el CR ecuaciones son satisfechos.)
Respuestas
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Matthew Scouten
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Para concluir, a partir de la de Cauchy-Riemann ecuaciones o de $\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}=0$ que $f$ es analítica, es probable que desee asumir, al menos, que las derivadas parciales de $f$ son continuas. Es posible vivir sin eso, pero no del todo fácil: busca la Looman-Menchoff teorema.
Janeth
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Si $\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}=0$, podemos escribir $f=u(x,y)+iv(x,y)$ a obtener las siguientes ecuaciones: $$ \frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x}-\frac{1}{i}\frac{\partial}{\partial y}\right)f=0$$ and substituting our decomposition of $f$, $$ \frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x} +i\frac{\partial u}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial y}=0$$ a partir De aquí, se puede ver que la de Cauchy-Riemann, las ecuaciones deben estar satisfecho?
