Comprobar si una función compleja tiene una antiderivada

Question

Existe una función $f(z)$ dado: $$f(z) = \frac{z}{z^2 + 1}.$$ $z \in \Omega = \mathbb{C} \setminus \overline{D(0,1)}$ ,

donde $D(0, 1)$ es un disco centrado en cero y su radio es igual a 1.
Debo comprobar si la función dada tiene una antiderivada.

¿Qué debo comprobar?

En mi opinión, es necesario comprobar si

1. integral sobre cualquier línea desde el punto $a$ para señalar $b$ es igual a $0$ .

¿Es esta condición equivalente a la afirmación $f$ es holomorfa en cada área coherente que está incluida en $\Omega$ ?

Cálculos

Si $1$ es cierto cómo puedo comprobar si las integrales sobre cualquier línea es igual a $0$ ?

Answer 1

Pista: Consideremos la integral de $f$ a lo largo del círculo de radio $2$ centrado en el origen. Si $f$ tiene una antiderivada, entonces esta integral es cero.

Si puede, calcule la integral utilizando los residuos utilizando que $$ \operatorname{Res}(f,c) = \frac{g(c)}{h'(c)} $$ cuando $f(z) = \dfrac{g(z)}{h(z)}$ y $h(c)=0$ y $h'(c)\ne0$ .

En caso contrario, calcula directamente la integral. Utilizar un cuadrado en lugar de un círculo será más sencillo.