Inducida por el mapa en los espectros de los anillos

Question

Deje $B$ ser un anillo que contiene a $A$, y el anillo de extensión es integral. Además, $B$ es un finitely generadas $A$-álgebra. Entonces, ¿cómo demostrar que la inducida por el mapa en los espectros de los anillos es una finito mapa, es decir, la inversa de la imagen de finito de conjuntos finitos.

Answer 1

La fibra en $\text{Spec} (B)\to \text{Spec} (A)$ de un punto de $P=[\mathfrak p]\in \text{Spec} (A)$ es el espectro del anillo de $R=B\otimes_A \kappa (P)$ donde $\kappa (P)=\text {Frac}\:(A/\mathfrak p)$.
Desde la finitud de los módulos se conserva en virtud del cambio de base, el álgebra $R$ es finito como un módulo sobre el campo $\kappa (P)$ (en otras palabras es finito-dimensional!) y así ha finito espectro por el siguiente resultado que voy a mostrar como referencia para el futuro :

Lema
Un álgebra $R$ de dimensión finita sobre un campo $k$ tiene sólo un número finito de primer ideales y estos primos son los ideales todas máxima.
Prueba
Dado un primer $\mathfrak m\subset R$ el cociente $R/\mathfrak m$ es necesariamente un campo, por lo que el $\mathfrak m$ es máxima.
El teorema del resto Chino aplicado a la surjective de morfismos $R\twoheadrightarrow \prod_{\mathfrak m} R/\mathfrak m$ (donde podremos tomar un número finito de máximos ideales de $\mathfrak m$) implica inmediatamente que el número de los máximos ideales es finito y $\leq [R:k]$.

Answer 2

Un alojamiento ideal $\mathfrak q$ en Espec $B$ se encuentra sobre un alojamiento ideal $\mathfrak p$ en Espec $A$ precisamente si $\mathfrak q\cap A = \mathfrak p$. Esto implica que $\mathfrak q$ contiene $\mathfrak p B$. No es equivalente a la de este último; si $\mathfrak q$ contiene $\mathfrak p B$, $\mathfrak q \cap A$ podría contienen una mayor primer ideal de $\mathfrak p$.

Lo que se puede comprobar es que $\mathfrak q \cap A = \mathfrak p$ precisamente si $\mathfrak q$ induce un no-unidad ideal en $\kappa(\mathfrak p) \otimes_A B$ (donde $\kappa(\mathfrak p)$ es la fracción de campo de $A/\mathfrak p$).

De hecho, esta es una descripción general de los puntos de la fibra de más de $\mathfrak p$ (para cualquier morfismos $A \to B$); son canónica bijection con los puntos de $\kappa(\mathfrak p)\otimes_A B$.

Ahora supongamos que $A \to B$ es un número finito de morfismos. A continuación, $\kappa(\mathfrak p) \to \kappa(\mathfrak p)\otimes_A B$ es un número finito de morfismos. A partir de esto, se puede demostrar que la fibra de más de $\mathfrak p$ es finito? (¿Qué se puede decir acerca de la Especificación de cualquier finito-dimensional $k$-álgebra, para un campo $k$?)