$AA^t=BB^t \implies A=B$

Question

Dejemos que $A$ y $B$ son de valor complejo $n\times n$ y dejemos que $\det(A)=1$ o $-1$ .

Entonces, ¿qué condiciones necesarias y suficientes se pueden dar para $A$ y $B$ para satisfacer esta proposición?

"Si $AA^t=BB^t$ entonces $A=B$ o $A=-B$ ." donde $A^t$ es la transposición de $A$ .

Answer 1

Advertencia y notas: Escribí la respuesta para real matrices y transponer $(\cdot)^t$ . Se puede adaptar simplemente para complejo matrices y transposición compleja conjugada . Sin embargo, las matrices complejas y la única transposición es una historia completamente distinta...

En la pregunta no está claro, si la condición es en $(A,B)$ que es una fórmula lógica $P(A,B)$ o la misma condición está en $A$ y $B$ que es una fórmula lógica $P(A) \land P(B)$ . Para el segundo caso, no hay "solución" para $n>1$ (véase el comentario de @ErickWong a la pregunta).

Ahora los resultados...

Reclamación 1: La condición " $A,B$ son simétricas y definidas" es suficiente para que $$AA^t = BB^t \implies A=B \lor A=-B$$ Es cierto.

Prueba: Primero asuma $A$ es positiva definida. Entonces, $AA^t = BB^t$ implica $I = A^{-1}B (A^{-1}B)^t$ Es decir $M = A^{-1}B$ es ortogonal. Pero $M$ es similar a $RMR^{-1} = R^{-1}BR^{-1}$ que es definitivo. Es decir, $M$ es $I$ (en caso de que $B$ es positiva definida), o $-I$ (en caso de que $B$ es negativa definida). Pero eso significa $A = B$ o $A = -B$ .

Ahora, supongamos que $A$ es negativa definida. Entonces, $\tilde A = -A$ es positiva definida. Así, por el párrafo anterior, tenemos $-A = B$ o $-A = -B$ .

Reclamación 2: Dejemos que $M_0 = \{ A\in\mathbb R^{n\times n} : |\det A| = 1 \},$ $M_1 = \{ A\in M_0 : A \text{ symm. and definite} \},$ y $M_2 \subseteq M_0$ que contiene $M_1$ con la propiedad $\forall A,B\in M_2: [AA^t = BB^t \implies A = B \lor A=-B]$ .

Entonces, $M_2 = M_1$ .

Prueba: Dejemos que $A\in M_2$ . Desde $\tilde A = (AA^t)^{1/2}\in M_1 \subseteq M_2$ sigue $A = \tilde A$ o $A = -\tilde A$ . Es decir, $A$ ya está en $M_1$ . (gracias a @ErickWong)