Deje $f:[0,\infty)\to \mathbb{R}$ ser dado por $f(x)=\sqrt{x}$. Mostrar que es continua.
Esto es tomado de Ejemplo 3.7 en <link> página 22 en el papel. Se ha demostrado que es continua en a $c=0$ $c>0$ por separado, lo que yo entendía por qué. Me preguntaba cómo iba a demostrar que si tengo un problema similar a la de mi maestro, sin mostrar cómo he procesado (es decir, cómo los valores de $\delta>0$ se encuentra). Yo pensaba acerca de la siguiente manera,
Deje $\epsilon>0$ ser dado y deje $c\in [0,\infty)$. Elegir $$\delta=\begin{cases} \epsilon^{2} & \text{ if } c=0 \\ \epsilon\sqrt{c} & \text{ if } c>0. \end{casos}$$ Assume $c=0$. Si $\left | x-c \right |=\left | x-0 \right |<\delta$ , $$\left | f(x)-f(c) \right |=\left | \sqrt{x}-0 \right |=\left | x-0 \right |^{1/2}<\delta^{1/2}=\epsilon.$$ Assume $c>0$. If $\left | x-c \right |<\delta$, then $$\left | f(x)-f(c) \right |= \left | \sqrt{x}-\sqrt{c} \right |=\left | \frac{x-c}{\sqrt{x}+\sqrt{c}} \right |\leq \frac{1}{\sqrt{c}}\left | x-c \right | <\frac{1}{\sqrt{c}}\delta=\epsilon.$$ This proves that $f$ es continua.
Es esto correcto, o hay una mejor manera de demostrarlo matemáticamente?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
En cuanto a si existe una "mejor" camino, en realidad a mí me parece que acredite la continuidad a través de $\epsilon$-$\delta$ específicamente para la raíz cuadrada se ve un poco torpe.
Allí se encuentra la elegante argumento de que la inversa de una bijective función continua $f$: $[a, b]\longrightarrow f([a, b])$ es continua, y la general de la prueba tipo de escribe a sí mismo.
Entonces, aplicando esto a $x\mapsto x^2$ en $[0, r]$, $r>0$, da el resultado inmediatamente.
Yo realmente no les gusta la respuesta como esta. Esto muestra que la contestadora ha trabajado a través de todos los casos y encontró el $\delta(\epsilon)$ para cada caso. Los resultados aparecen a continuación como un truco de magia.
Me gusta mucho una respuesta donde el análisis se indica explícitamente mostrando cómo $\delta(\epsilon)$ es derivado. Esto también va a convencer a mí que la contestadora realmente sabe lo que están haciendo.
