Un problema con respecto a una secuencia en la $C[0;1]$

Question

Dado normativa espacio de $C[0;1]$ (el espacio de continua de las funciones definidas en $[0;1]$) con la norma $||.||$ definen de la siguiente manera

$$||x|| = \max\limits_{x \in [0;1]} |f(x)| $$ Demostrar que la secuencia de $\{x_n\}_n$ no convergen en $(C[0;1],||.||)$ con $$x_n(t) = \left\{ \begin{array}{ll} nt,& 0 \le t \le \dfrac{1}{n} \\ 1,& \dfrac{1}{n} < t \le 1 \end{array} \right. $$

En el intento de resolver este problema, me enteré de que la secuencia converge por puntos individuales para la función de $x$ (medio por cada $t \in [0;1]$, $\lim\limits_{n \to \infty} x_n(t) = x(t)$) con $$x(t) = \left\{ \begin{array}{ll} 0,& t = 0 \\ 1,& 0 < t \le 1 \end{array} \right. $$ que no es un elemento de $C[0;1]$.

Este podría ser un punto en la solución. Sin embargo, no sé cómo proceder rigurosamente con la correcta definición de la cobertura de una normativa espacio (como $x_n - x$ no es un elemento de la normativa del espacio). Por favor me ayude. Gracias por la lectura.

Answer 1

Que estaban cerca de allí. Supongamos que $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ converge en $C\bigl([0,1]\bigr)$ a alguna función $x$. A continuación, para cada $t\in[0,1]$,$$x(t)=\lim_{n\to\infty}x_n(t)=\begin{cases}1&\text{ if }x\in(0,1]\\0&\text{ otherwise.}\end{cases}$$But there is no such function in $C\bigl([0,1]\bigr)$.

Tenga en cuenta que la igualdad de $x(t)=\lim_{n\to\infty}x_n(t)$ se deduce del hecho de que usted está usando la norma que está utilizando. Si, por ejemplo, $\|x\|=\int_0^1\bigl|x(t)\bigr|\,\mathrm dt$, esto no iba a funcionar.

Answer 2

Aquí es una alternativa enfoque formal. Tomar cualquier función de $f\in C[0,1]$, y demostrar que $$ \lim_{n\to\infty}\|f-x_n\|\geq \frac12 $$ dividiendo en dos casos: o $f(0)<\frac12$ o $f(0)\geq\frac12$. Por lo tanto $x_n$ no convergen a $f$.

Answer 3

Usted puede demostrar por contradicción:

Si no existe $\xi$ tal que $x_n \to \xi$, entonces:

• Como convergencia uniforme implica punto de sabio convergencia para todos $t$, $\xi(t)=x(t)$, y $\xi=x$ no es continua.

• Como un límite uniforme de función continua es continua, $\xi$ es continua.

Así que hay una contradicción.