La transformada de Fourier es real si $f$

Question

Quiero demostrar que la transformada de Fourier $F(\xi)$ de una función de $f$ será una función real cuando, y sólo cuando, $f(x)$ es una función par.

Estoy usando la siguiente definición de la transformada de Fourier: $F(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} \! e^{-2x\pi i \xi}f(x) \, \mathrm{d}x$. Tengo problemas tratando de demostrar que $f$ es incluso. Puedes dame una mano? Estoy tratando de demostrar que $\int_a^b \! \sin(2\xi x\pi) f(x) \, \mathrm{d}x=0$ implica $f$ incluso. Sería la periodicidad de la función sin ayuda?

Answer 1

$f(x) = f_{odd}(x) + f_{even}(x)$

$e^{-2 x \pi i \xi} = \cos(2 x \pi \xi) - i\sin(2 x \pi \xi)$

$\int e^{-2 x \pi i \xi} f(x) = ...$

$\int \cos(2 x \pi \xi) f_{even}(x) - i \int \sin(2 x \pi \xi) f_{odd}(x)$,

Donde los otros términos cancelar hacer a (anti)la simetría. Si $f_{odd}(x) = 0$, entonces se queda con sólo un resultado real; de lo contrario tendrá un componente imaginario en la final integral.