¿Cuál es la importancia de la alimentación de $3$ en la secuencia de números primos dado por $\lfloor A^{3^n}\rfloor ?$

Question

Molino constante es un número tal que $\lfloor A^{3^n}\rfloor$ es primordial para todos los $n$. La existencia de una $A$ fue probado en $1947$.

Sé muy poco acerca de la teoría de los números, pero soy curioso en cuanto a por qué el poder de $3$ es elegido en el exponente. Parece probable que esto es puramente debido a $3$ es el más pequeño y, por tanto, en un sentido, más simple, impar prime - a pesar de que este es el total de la especulación de mi parte. Yo tengo dos, algo relacionado con las preguntas:

• Si $p_k$ $k^{\text{th}}$ impares primos, no existe $Q_k\in\mathbb{R}$ tal que $\lfloor Q_k^{p_k^n}\rfloor$ es primordial para todos los $n?$
• ¿Por qué un poder de $2$ no trabajo?$^*$ O en otras palabras, ¿por qué no $Q$ tal que $\lfloor Q^{2^n}\rfloor$ es primordial para todos los $n?$

$^*$ Me ha hecho la suposición de aquí que puede ser falsa, no dude en corregir si es así.

Answer 1

El $\lfloor A^{3^n}\rfloor$ cosa suena impresionante, pero realmente no es así. De ello se desprende rápidamente de la (mucho más impresionante) el hecho de que para cualquier suficientemente grande entero $N$, siempre hay un primer entre el$N^3$$(N+1)^3$.

Dado que el hecho de que, aquí está el Molino de la prueba de su constante. Es sólo una página de largo, y no utiliza ningún difíciles de matemáticas. La idea es restringir $A$ a un pequeño intervalo, y hacer que el intervalo más pequeño y más pequeño en una serie de pasos.

En cada paso, hay un cierto rango de $A^{3^n}$ puede estar en. Para ese paso, elegir un primer $p$ en ese rango, y luego restringir $A$ a un pequeño intervalo para que en todas partes en el nuevo intervalo, $\lfloor A^{3^n}\rfloor$ es igual a $p$. Ya que la función $x^{3^n}$ crece tan rápido, usted sabe que la nueva gama de $A^{3^{(n+1)}}$ es tan grande que debe incluir un número primo, así que usted puede seguir con el siguiente paso. Que la observación de la siguiente manera desde el impresionante hecho anteriormente, y es la razón para el "3". Si continúa este proceso para siempre, usted obtendrá más y más precisa de los valores de $A$.

Así que para responder a sus preguntas relacionadas con:

$\lfloor Q^{k^n}\rfloor$ siempre funciona si $k$ es de al menos 3. El mismo argumento muestra que debe existir un $Q$.

Pero $\lfloor Q^{2^n}\rfloor$ podría no funcionar. Depende de los siguientes abrir conjetura: hay siempre un primer entre el$N^2$$(N+1)^2$? Esto se conoce como Legendre de la conjetura, y se cree que es extremadamente difícil.