¿Cómo puedo aplicar Newton sumas para resolver este problema?

Question

Dado $x_1,x_2,x_3,x_4$ números reales tales que a $x_1+x_2+x_3+x_4 = 0$ $x_1^7+x_2^7+x_3^7+x_4^7 = 0,$ ¿cómo puedo utilizar simétrica funciones y Newton sumas de dinero para demostrar que $x_1(x_1+x_2)(x_1+x_3)(x_1+x_4)=0$?

Esto es lo que tengo hasta ahora:

Tenga en cuenta que $x_1 = -(x_2+x_3+x_4)$ y la relación entre Newton sumas, primaria simétrica polinomios, y el poder de las sumas nos da ese $P_7-S_1 P_6+S_2 P_5-S_3 P_4+S_4P_3=0,$ donde $P_k$ indica el $kth$ la suma de la energía y $S_k$ indica el $kth$ primaria simétrica polinomio de $x_1,x_2,x_3,x_4.$

Queremos mostrar que $(x_2+x_3+x_4)(x_2+x_3)(x_2+x_4)(x_3+x_4) = 0.$

Pero, ¿cómo?

Answer 1

La clave de este problema es el uso de todos los Newton Sumas de relaciones, no sólo a la con $S_7$.

Deje $(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4) = x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4$ $4$th grado del polinomio con raíces $x_1,x_2,x_3,x_4$, y deje $S_n = x_1^n+x_2^n+x_3^n+x_4^n$ la suma de los $n$-ésimo las potencias de las raíces del polinomio.

Estamos dado que el $S_1 = S_7 = 0$. Entonces, Newton Sumas nos da lo siguiente:

$S_1+a_1 = 0 \leadsto a_1 = 0$

$S_2+a_1S_1+2a_2 = 0 \leadsto S_2 = -2a_2$

$S_3+a_1S_2+a_2S_1+3a_3 = 0 \leadsto S_3 = -3a_3$

$S_4+a_1S_3+a_2S_2+a_3S_1+4a_4 = 0 \leadsto S_4 = 2a_2^2-4a_4$

$S_5+a_1S_4+a_2S_3+a_3S_2+4S_1 = 0 \leadsto S_5 = 5a_2a_3$

Dejemos a un lado la relación de $S_6$ ya que no es necesario.

$S_7+a_1S_6+a_2S_5+a_3S_4+4S_3 = 0 \leadsto 7(a_2^2-a_4)a_3 = 0$

Así que, o bien $a_3 = 0$ o $a_2^2 = a_4$.

Si $a_2^2 = a_4$,$S_4 = 2a_2^2-4a_4 = -2a_2^2 \le 0$. Pero desde $x_1,x_2,x_3,x_4$ son reales, debemos tener $S_4 = x_1^4+x_2^4+x_3^4+x_4^4 \ge 0$. Por lo tanto, $S_4 = 0$, lo que nos da $x_1 = x_2 = x_3 = x_4 = 0$, y por lo tanto, $x_1(x_1+x_2)(x_1+x_3)(x_1+x_4)=0$.

Si $a_3 = 0$, $x_1,x_2,x_3,x_4$ son raíces del polinomio $x^4+a_2x^2+a_4$. Desde este polinomio es, incluso, $x_1 = 0$ o $x_1 = -x_i$ algunos $i = 2,3,4$, y por lo tanto, $x_1(x_1+x_2)(x_1+x_3)(x_1+x_4)=0$.

Por lo tanto, $x_1(x_1+x_2)(x_1+x_3)(x_1+x_4)=0$, como se desee.

Answer 2

Aquí es otra aplicación útil de la AM-GM de la desigualdad(no pensar en él, usted) Difícil factorización: $$0=-(a^7+b^7+c^7+d^7)$$$$=7(b+c)(c+d)(d+a)E$$ where $E=(b^2+c^2+d^2+bc+cd+da)^2+bcd(b+c+d)$. However, $$4E=((b+c)^2+(c+d)^2+(b+d)^2)^2)-4abcd$$$$=((b+a)^2+(c+a)^2+(a+d)^2)^2)-4abcd$$$$=(3a^2+2a(b+c+d)+b^2+c^2+d^2)^2-4abcd$$ The last expression reduces to $$(a^2+b^2+c^2+d^2)^2-4abcd$$ However we see that $$(a^2+b^2+c^2+d^2)^2-4abcd \geq 12|abcd| \geq 0$$ from the AM-GM inequality. We conclude that $4E \geq 0$ with equality if and only if $|a|=|b|=|c|=|d|=0$. Otherwise one of $b+c,b+d c+d$ must be $0$. Por lo tanto, el resultado de la siguiente manera.