Cómo mostrar $e^x$ $\ln x$ no se cruzan?

Question

Yo estaba tratando de resolver el siguiente problema de un libro de cálculo

Demostrar que la gráfica de $e^x$ $\ln x$ no se intersecan.

Traté de resolver el problema, mostrando la función \begin{align}\label{1} f(x)=e^x-\ln x \tag{1} \end{align} no tiene un cero (que es otro problema). Así, \begin{align}\label{2} f'(x)=e^x-\frac1x\tag{2} \end{align} Con el fin de encontrar el mínimo de (\ref{1}), debemos encontrar el cero de (\ref{2}), sin embargo, otro problema.

Answer 1

Si se hace una gráfica de las dos funciones de $y=e^x$ $y=\ln x$ te darás cuenta de que usted puede caber la línea de $y=x$ entre ambas. Así se podría demostrar que $e^x>\ln x$ en dos pasos:

1. $e^x > x$ todos los $x$.

2. $x > \ln x$ todos los $x$.

De estas dos afirmaciones deberían ser más fáciles de atacar usando su enfoque de encontrar el mínimo de la diferencia.

Answer 2

A partir de la expansión de la serie de $e^x$ usted puede conseguir que para cualquier $x \in \mathbb{R}$, $e^x \ge 1+x \gt x$. Por lo tanto la gráfica de $y = e^x$ se encuentra por encima de la gráfica de $y = x$. Desde $\ln x$ es la función inversa de la $e^x$, la gráfica es la reflexión de la gráfica de $e^x$ sobre la línea de $y = x$. Por lo tanto desde $e^x$ nunca se cruza con $y = x$, no se puede entrecruzar $\ln x$.

Answer 3

Su camino conduce rápidamente a un resultado:

• en $(0,1)$ $e^x > \ln x$ de todos modos
• en $[1, \infty )$$f(1) = e > 0$$f'(x) = e^x - \frac{1}{x} \geq e -1 > 0$, por lo tanto $f$ es positivo en $[1, \infty )$.

Answer 4

Usted ya ha recibido buenas respuestas; así que, sólo por curiosidad, quisiera darle la bienvenida en el mundo de Lambert función !

$$f'(x)=e^x-\frac 1x = 0 \implies x=W(1)=\Omega \approx 0.567143$$ From here, everything becomes quite simple since, at this point $$f(x)=\Omega -\log(\Omega) >0$$

Más pronto o más tarde, usted va a aprender que cualquier ecuación que se puede escribir $A+B x+C\log(D+ex)=0$ tiene solución(s) en términos de la función de Lambert?

Editar

Esto es totalmente fuera de tema, pero utilizado para la ilustración.

Tratemos de encontrar el mínimo valor de $k$ de manera tal que las curvas de $y=e^x$ $y=k \log(x)$ se cruzan.

Así, buscamos los posibles ceros de la función $$g(x)=e^x-k \log(x)$$ $$g'(x)=e^x-\frac k x=0 \implies x=W(k)$$ Taking into account that $k=W(k)\,e^{W(k)}$, en el mínimo, entonces tenemos $$g(W(k))=k\left(\frac{1}{W(k)}- \log (W(k))\right)$$ Let $z=W(k)$ to solve again $$g(z)=\frac 1 z -\log(z)=0\implies z=\frac 1 \Omega\implies k_*=\frac{1} \Omega e^{\frac 1 \Omega} \approx 10.2817$$ Since $g"(x) > 0 \,\,\forall k >0$, for any $k > k_*$, $g(x)=0$ will show two roots $0 < x_1 < W(k)$ and $x_2 > W(k)$.

Answer 5

1) $x \in (0,1]$ :

$e^x >0$, $\ln x \le 0$, $\\ $no hay intersección.

2) $x \in (1,\infty):$

$\star)$ $e^x =1+x+x^2/2!+...> x$, desde

$\ln$ es estrictamente creciente: $\ln e^x > \ln x$ , o

$x > \ln x;$

La combinación de con $\star)$:

$e^x >x > \ln x $, no se Intersectan.