Hace una función de $f(x,y)$ existe $\int_0^{1-x}f(x,y)dy=1$$\int_0^{1-y}f(x,y)dx=1$?

Question

Supongamos que la función $f(x,y)$ se define en el triángulo $x\ge 0, y\ge 0, x+y\le 1$. Qué tal función existe ese $\int_0^{1-x}f(x,y)dy=1$ $\int_0^{1-y}f(x,y)dx=1$ cualquier $x\in (0,1)$$y\in (0,1)$?

En realidad, estoy tratando de encontrar una distribución de probabilidad que ambas distribuciones marginales son uniformes.

Answer 1

Voy a responder no a la pregunta de su título, pero el que viene detrás (encontrar algunos de distribución de probabilidad). Deje $$T := \{x \geq 0\} \cap \{y \geq 0\} \cap \{x+y \leq 1\}$$

Yo afirmación de que sólo hay una distribución en $T$, de forma que ambos marginales son uniformes en $[0,1]$. Esta distribución es uniforme en el lado de la $L = \{x+y = 1\} \cap T$. En particular, esta distribución no es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue (no tiene la densidad con respecto a la medida de Lebesgue).

Deje $\mu$ ser dicha distribución. Tenga en cuenta que $x$ $y$ ambos son uniformes en $[0,1]$. Por lo tanto, $\mathbb{E}_\mu (x+y) = \mathbb{E}_\mu (x)+\mathbb{E}_\mu (y) = 1$.

Suponga que $\mu(L) < 1$. A continuación,$\mu (\{x+y < 1\}) > 0$. Por $\sigma$-aditividad, no es $\varepsilon > 0$ tal que $\delta := \mu (\{x+y < 1- \varepsilon\}) > 0$. Pero, a continuación,$\mathbb{E} (x+y) \leq \delta(1-\varepsilon) + (1-\delta) = 1-\delta \varepsilon < 1$, y tenemos una contradicción.

Por lo tanto, $\mu(L) = 1$. A continuación, $\mu (\{(t,1-t): t \in (a,b)\}) = b-a$ siempre $(a,b) \subset [0,1]$, como su marginales son uniformes. Esto caracteriza $\mu$.

Esto no significa que las ecuaciones no tienen solución; sin embargo, si existe una solución, que no puede ser no negativo (o tal vez mensurable).