Compacto conjuntos de métricas espacios están cerrados?

Question

Estoy luchando con la idea de que todos los subconjuntos compactos de un espacio métrico se cierran después de leer el capítulo 2 de Rudin Principios de Análisis Matemático.

La razón por la que estoy confundido es que parece poco razonable que un subconjunto compacto debe ser cerrado. Si fuéramos a tomar un subconjunto abierto $K$ de un subconjunto compacto $Y$ en un espacio métrico $X$ donde $K$ es abierto relativo a $X$, entonces cada finito subcover de $Y$ también sería de un número finito de subcover de $K$. Pero entonces, $K$ sería a la vez compacto y abierta en $X$, lo que contradice el teorema de que todos los subconjuntos compactos en $X$ están cerrados.

Podría por favor alguien que me explique por qué mi razonamiento es incorrecto, y cómo es que los subconjuntos compactos de métrica espacios deben ser cerrado?

Gracias,

Evan

Answer 1

El problema con el razonamiento es que el $K$ puede tener una cubierta abierta $\mathscr{U}$ que no se deriven de una cubierta abierta de a $Y$, por lo que la compacidad de $Y$ no dice nada acerca de la $\mathscr{U}$.

Es más fácil, creo yo, para probar el contrapositivo: si $A\subseteq X$ no está cerrado, a continuación, $A$ no es compacto. Deje $\langle X,d\rangle$ ser un espacio métrico, y supongamos que $A\subseteq X$ no está cerrado. Entonces hay un punto de $p\in(\operatorname{cl}A)\setminus A$. Para $n\in\Bbb Z^+$ vamos $$U_n=\left\{x\in X:d(x,p)>\frac1n\right\}\;,$$ and show that $\{U_n:n\in\Bbb Z^+\}$ is an open cover of $$ sin finito subcover.

Answer 2

Deje $F$ ser nuestro conjunto compacto. A continuación, tome $x\in X\setminus F$. Porque {$x$} y $F$ son compactos ,entonces tienen una distancia,decir $d$.Y así, el disco abierto $D(x,\frac {d}{2})\subset X\setminus F$. Por lo $X\setminus F$ es abierto y por lo tanto $F$ es cerrado.

Answer 3

Alternativo de prueba, si usted sabe que la compacidad es equivalente a la compacidad secuencial: supongamos $Y$ es compacto, y $x$ es un punto límite de $Y$. Deje $(x_n) \subset Y$ $x_n \to x \in X$ y para todos $n$, $x_n \neq x$. $(x_n)$ tiene un convergentes larga convergentes para algunos $y \in Y$ porque $Y$ es compacto. Pero dado que toda la secuencia de $(x_n)$ es convergente y converge a $x$, $x=y$. Así $x_n \to y \in Y$. $Y$ contiene toda su límite de puntos. $Y$ es cerrado.