Por qué $x<\tan{x}$ mientras que $0<x<\frac{\pi}{2}$ ?

Question

En prueba de $\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin{x}}{x}=1$ se supone que $\sin{x}\leq{x}\leq\tan{x}$ mientras que $0<x<\frac{\pi}{2}$ . La primera comparación es clara, la longitud del arco debe ser mayor que el valor del seno, pero ¿qué pasa con $x\leq\tan{x}$ ¿Por qué la tangente es más larga que el arco?

Answer 1

$\ \ \ \bullet$ Utilizando triángulos semejantes: $$\color{darkgreen}{\tan t}={\color{maroon}{\sin t}\over\color{darkblue}{\cos t}} ={ {\text{length}( \color{darkgreen} {\overline{{IZ}})} }\over 1 }\quad \Longrightarrow \quad\color{darkgreen}{\tan t}=\text{length}(\color{darkgreen}{\overline{IZ}})$$

$\ \ \ \bullet$ $t$ es la longitud del arco $\color{orange}{IQ}$ .

$\ \ \ \bullet$ Superficie del sector circular $O\color{orange}{IQ}={t\over 2\pi}\cdot \pi\cdot 1^2={t\over2}$ .

$\ \ \ \bullet$ Área de $\triangle OIZ={1\over2}\cdot1\cdot\color{darkgreen}{\tan t}$ .

Así que $$\color{maroon}{\sin t}\lt t\lt\color{darkgreen}{\tan t}$$ para $0< t<\pi/2$ .

Answer 2

Está bien si las comparaciones de esas longitudes te resultan intuitivamente claras, pero si quieres ser riguroso, es más fácil comparar áreas anidadas que comparar longitudes de curvas.

A partir de la imagen de David Mitra (véase su respuesta), el área del triángulo que abarcan las líneas $\cos(t)$ y $\sin(t)$ es $\frac{1}{2} \cos(t)\sin(t)$ . Esa zona se encuentra dentro del sector de ángulo $t$ que tiene una superficie $\frac{t}{2}$ (la proporción $\frac{t}{2\pi}$ del área total del círculo $\pi$ ). Y a su vez, el área del sector está dentro del triángulo abarcado por el radio horizontal del círculo unitario y $\tan(t)$ que tiene una superficie $\frac{1}{2} \tan(t)$ .

Así pues, tenemos la desigualdad $$\frac{1}{2} \cos(t)\sin(t) \le \frac{t}{2} \le \frac{1}{2} \tan(t)$$ Ou $$\cos(t)\sin(t) \le t \le \tan(t)$$ cancelando los 2's. Usted debe ser capaz de ajustar su prueba de $\displaystyle\lim_{t \to 0} \frac{\sin(t)}{t} = 1$ para utilizar esta desigualdad ligeramente más débil.

Answer 3

Mi enfoque es probablemente diferente de lo que usted quiere oír:

La derivada de $\tan x$ es 1 cuando $x = 0$ y es creciente, se puede demostrar fácilmente que $\tan x$ es (estrictamente) convexo para $x \in (0, \pi/2)$ . Y como $y=x$ es su tangente en el punto $[0,0]$ la desigualdad $\tan x > x$ tiene que aguantar. No sé si has hablado de tangentes y funciones convexas/cóncavas, pero es una de las propiedades básicas.

Espero haber ayudado al menos un poco. Salud.

Answer 4

También puedes utilizar el cálculo.
Sea $f(x)=x-\tan(x)$ , $0\lt x \lt \frac{\pi}{2}$ . Entonces $$f'(x)=1-\sec^2(x)=-\tan^2(x) \leqslant 0~,~0\lt x\lt \frac{\pi}{2},$$ Así que $f(x)$ disminuye en $0\lt x\lt \frac{\pi}{2}$ . Así pues, tenemos $f(0)\gt f(x)$ o $f(x)\lt 0$ .

Answer 5

Como la primera comparación la tienes clara....Si dibujas la circunferencia unitaria y reconoces el lado de la tangente, entonces la segunda también la tienes clara.