Verificar que se trata de una categoría

Question

Estoy trabajando en una pregunta en un libro de topología algebraica de introducción:

Compruebe que la "categoría de flecha" es una categoría. Es decir, si $\mathcal{C}$ es una categoría, entonces demuestre que la siguiente construcción da una categoría $\mathcal{M}$ : Dejemos que $\operatorname{obj} \mathcal{M}$ sea la colección de flechas de $\mathcal{C}$ . Para $f,g\in \operatorname{obj} \mathcal{M}$ , digamos que $f: A \to B$ y $g: C \to D$ , que una flecha en $\mathcal{M}$ de $f$ a $g$ sea un par ordenado de flechas $(\alpha,\beta)$ (con $\alpha:A \to C$ y $\beta: B \to D$ ) en $\mathcal{C}$ tal que $g \circ \alpha = \beta \circ f$ .

Composición de las flechas de $\mathcal{M}$ viene dada por la regla $(\alpha',\beta') \circ ( \alpha,\beta) = ( \alpha' \circ \alpha,\beta'\circ\beta)$ .

Mi problema es demostrar que los conjuntos de homólogos son disjuntos por pares. Como yo lo entiendo, $ \operatorname{hom} (f,g) \cap \operatorname{hom} (h,k)$ está vacío si $(f,g)\neq (h,k)$ .

Intenté suponer lo contrario sólo para tener una idea de por qué esto debe ser cierto: Supongamos $(\alpha,\beta) \in \operatorname{hom} (f,g) \cap \operatorname{hom} (h,k)$ y $(f,g) \neq (h,k)$ . Si $f,g,\alpha,\beta$ tienen los dominios y codominios dados anteriormente, entonces debemos tener $h: A \to B$ y $k: C\to D$ para que los compuestos tengan sentido.

Los diagramas conmutan y por lo tanto $g \circ \alpha=\beta \circ f$ y $k \circ \alpha = \beta \circ h$ . Desde $(f,g) \neq (h,k)$ tenemos $f \neq h$ o $g \neq k$ .

Entonces... nada. No estoy seguro de que esta línea de ataque vaya a funcionar. Parece que la suposición de que $(f,g) \neq ( h,k)$ no me da nada utilizable.

Tal vez tenga un malentendido fundamental sobre las categorías o la construcción de $\mathcal{M}$ . Si alguien pudiera darme un empujón en la dirección correcta se lo agradecería mucho.

Answer 1

Tienes razón en estar confundido y @David se apresuró a señalar el problema. Lo cierto es que muchos (¿la mayoría?) de los libros de texto de Teoría de Categorías (y de otras áreas de las matemáticas) son a veces imprecisos en sus definiciones formales. La razón es que se supone que su información es "procesada" por los cerebros humanos, que son famosos por ser bastante flexibles y perdonar pequeñas imprecisiones. Uno se da cuenta de esto (por ejemplo) cuando empieza a codificar matemáticas/lógicas simbólicas con un sistema de álgebra computacional (CAS). Con un CAS tienes que ser muy preciso, así que descubres todas esas pequeñas imprecisiones presentes en los libros de texto. Fuiste muy bueno en descubrir ésta haciendo manualmente las comprobaciones de los conjuntos Hom. La mayoría de los libros de texto no hacen eso, sólo comprueban que tienes identidades y que la composición tiene sentido.

La categoría Arrow $\mathcal{C}^\rightarrow$ puede describirse como una categoría especial de comas $\left(\text{Id}_C\downarrow \text{Id}_C\right)$ (puedes ver esto por ejemplo en wikipedia: categoría de comas). Ahora bien, los morfismos en las categorías de comas se definen "en todas partes" -incluso en Categorías de Mac Lane para el matemático que trabaja- como pares especiales ordenados (g,h). Por ejemplo, en wikipedia:

Podemos formar la categoría de la coma $(S \downarrow T)$ como sigue: Los objetos son todas las triplas (α,β,f) con α un objeto en $\mathcal{A}$ β un objeto en $\mathcal{B}$ y $f : S(\alpha)\rightarrow T(\beta)$ un morfismo en $\mathcal{C}$ . En la categoría coma los morfismos de (α,β,f) a (α',β',f') son todos los pares (g,h) donde $g : \alpha \rightarrow \alpha'$ y $h : \beta \rightarrow \beta'$ son morfismos en $\mathcal A$ y $\mathcal B$ respectivamente, de manera que el siguiente diagrama conmuta....

Ahora bien, en la teoría de categorías se supone que se puede recuperar la información del dominio y del codominio a partir del nombre (es decir, el símbolo o la fórmula) de un morfismo. Pero está bastante claro que si te dan un morfismo llamado (g,h) con g y h como arriba, nunca vas a recuperar la información sobre f y f'. Como mucho puedes recuperar la información de α,β,α',β' a partir de g y h. Así que, como ha señalado @David, hay que nombrar los morfismos como 4 tuplas (g,h,f,f') para vincularlos de forma única con la información de dominio y codominio en $\mathcal{C}^\rightarrow$ .

Una definición mejor/alternativa de la categoría de la coma $\mathcal{C}^\rightarrow$ es como la categoría del functor $\mathcal{C}^2$ (funtores de la categoría 2 a $\mathcal{C}$ ). En este caso los morfismos son las transformaciones naturales de dos funtores. También en este caso la mayoría de los libros de texto (¿todos?) dicen que para definir una transformación natural todo lo que se necesita es una familia especial de morfismos (en este caso sólo 2 morfismos). Pero de nuevo esto es impreciso. Para ser preciso también hay que especificar los funtores origen y destino y en este caso la f y la f' lo harían.

Espero que esto te aclare un poco la situación

Answer 2

Si se define un morfismo de la categoría de flechas como un par ordenado $(\alpha,\beta)$ de un morfismo de $A$ a $C$ y un morfismo de $B$ a $D$ tal que $g\circ \alpha=\beta\circ f$ entonces los homsets pueden no ser disjuntos. Por ejemplo, dejemos que $\cal C$ sea la categoría de grupos abelianos, $\Bbb Z$ el grupo de los enteros bajo adición, y $1$ el mapa de identidad en $\Bbb Z$ . Entonces, si $2: {\Bbb Z}\to{\Bbb Z}$ es el mapa de multiplicación por 2, $(2,2)$ es un morfismo de $1$ a $1$ pero $(2,2)$ es también un morfismo de $2$ a $2$ . La solución a este problema es disociar los homsets añadiendo información a cada morfismo de la categoría de flechas para indicar sin ambigüedad qué par de objetos de la categoría de flechas es un mapa entre ellos. Por ejemplo, se puede tomar una flecha de $f$ a $g$ para ser un cuadrado conmutativo, es decir, una 4-tupla $(f,\alpha,g,\beta)$ tal que $f$ , $g$ , $\alpha$ y $\beta$ son todos los morfismos de $\cal C$ , $g \circ \alpha$ y $\beta \circ f$ se definen, y $g \circ \alpha=\beta \circ f$ .