Me topé con esta pregunta en la clase de matemáticas, y me quedé atrapado. La Pregunta: Estás dado un círculo, y dos puntos. ¿Cómo se puede construir un círculo que pasa por los dos puntos y es tangente a la dada círculo? Gracias, por favor responder.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Phonics The Hedgehog
Puntos
111
que puedo hacer en el caso de los dos puntos que están en el exterior o en el interior del dado círculo. voy a utilizar la inversión en círculo.
de hecho, podemos tomar el círculo a una línea y los puntos en el mismo lado de la línea. todo lo que tienes que hacer es invertir en un círculo que pasa a través del centro del círculo.
vamos a la recta dada se $l$ y los dos pintas $P$ $Q$ en el mismo lado de la $l.$
en primer lugar, queremos deshacernos de la facilidad en caso de que la línea de $PQ$ es paralela a la línea de $l.$
aquí están los pasos:
(a) la mediatriz de $PQ$ $l$ $M.$
(b) las mediatrices de $MP, MQ$ $O.$
(c) $O$ es el centro de la necesaria círculo a través de $P, Q$ y tocando $l$ $M.$
aquí están los pasos para la construcción de los dos círculos a través de $P, Q$ y tocando $l:$
(a) la línea de $PQ$ recortes $l$ a de $M.$
(b) dibuje un círculo $C$ que ha $PQ$ para diámetro.
(c) trazar dos tangentes $M$ $C.$deje tocar en puntos de $T_1, T_2.$
(d) dibuje un círculo $\omega$ centro $M$ y radio de $MT_1 = MT_2.$
(e) deje $\omega$ línea de corte $l$ $A_1, A_2$
(f) la necesaria círculos son los círculos a través de $A_1PQ, A_2PQ.$
John Hughes
Puntos
27780
Usted no puede hacer esto, en general, si un punto está dentro del círculo y el otro fuera.
Suponiendo que ambos están fuera, por lo general, hay dos soluciones, un "pequeño" y "grande". Pero si la línea de $PQ$ entre los dos puntos, $P$$Q$, contiene el centro de $C$ del círculo, entonces la solución de dos círculos son del mismo tamaño.
Si los dos puntos están en el círculo, entonces no hay solución (o el círculo en sí es la solución -- supongo que depende de su definición de "tangente").
Si un punto, $P$ está en el círculo y el otro, $Q$ es de fuera, dibujar un rayo desde el círculo de centro $C$ a través de $P$, y la mediatriz de $PQ$; cuando estos se cruzan es el centro de la $D$ de la nueva círculo con radio de $DP$.
Caso 2 es el más difícil, sin embargo. Me di cuenta de que ayudar a resolver el fácil (e imposible) de los casos podría ser útil. Yo no, de improviso, tiene una solución para el caso 2. Pero @A. P. el comentario de que es un caso especial de Appolonius problema bastante toma el cuidado de él.
Juan
Puntos
51
Usted puede reducir a un problema de geometría analítica, pero la respuesta es bastante brutal. Si configuras tu coordenadas de modo que los dos puntos que se encuentran a $(0,d)$$(0,-d)$, el centro del círculo está en $(a,b)$ y el círculo de un radio de es $r$, entonces usted está buscando un punto en el $x$-eje, vamos a decir $(x,0)$, de tal manera que la distancia de $(x,0)$ $(a,b)$ $r$más de la distancia de $(x,0)$ $(0,d)$. Esto da la ecuación
$$\sqrt{(x-a)^2+d^2}=r+\sqrt{x^2+d^2}$$
La solución de este para $x$ da un resultado que se ve horrendo, pero se pueden construir con regla y compás. Aquí es la forma más sencilla que he encontrado hasta ahora para calcular el $x$:
$$x=\frac {a(a^2+b^2-d^2-r^2)\pm r\sqrt{4a^2d^2+(a^2+b^2)^2+d^2-r^2)^2-2(a^2+b^2)(d^2+r^2)}} {2(a^2-r^2)}$$
Varios accesos directos se presentan, pero esta será una monstruosa construcción.
