Utilizaré este hecho para demostrar que el grupo de automorfismos de una superficie compacta de Riemann $C$ del género $g>1$ está siempre fielmente representada en su acción sobre la primera homología $H_1(C)$ .
Teorema : Todo automorfismo no trivial $\varphi$ actúa de forma no trivial sobre $H_1(C)$ .
Prueba : Supongamos lo contrario, de modo que $\varphi$ es un automorfismo no trivial que actúa trivialmente sobre $H_1(C)$ . Desde $\varphi$ es holomorfa, conserva la orientación y, por tanto, actúa trivialmente sobre $H_2(C)$ también, y por supuesto cada auto-mapa de $C$ actúa trivialmente sobre $H_0(C)$ . Así, el número de Lefschetz de $\varphi$ es
$$L(\varphi)=\text{tr}(\varphi|H_0(C))-\text{tr}(\varphi|H_1(C))+\text{tr}(\varphi|H_2(C))=1-2g+1=2-2g.$$
La descripción local que da en torno a un punto fijo implica que todo punto fijo de $\varphi$ está aislado y tiene índice 1. Así, por la fórmula del punto fijo de Lefschetz, el número de Lefschetz es igual a
$$L(\varphi)=\sum_{\text{fixed points}}1=\text{the }\#\text{ of fixed points of }\varphi.$$
Pero si $g>1$ el número de Lefschetz $L(\varphi)=2-2g$ es negativo, lo cual es una contradicción.
A continuación, daré una aplicación ligeramente diferente y quizás más avanzada de este hecho. Creo que este argumento se remonta a Chevalley-Weil. Sea $D\to C$ sea una cobertura de Galois no ramificada (también conocida como un espacio de cobertura normal de hojas finitas), y sea $G=\text{Gal}(D/C)$ sea el grupo de la cubierta, o grupo de Galois. El grupo finito $G$ actúa libremente sobre la superficie de Riemann $D$ (con cociente $C$ ). Obtenemos así una acción del grupo $G$ en la primera homología $H_1(D;\mathbb{Q})$ y mi objetivo es describir este grupo homológico como una representación de $G$ . Como antes, dejemos $g$ sea el género de $C$ .
Teorema (Chevalley-Weil): Existe un isomorfismo $H_1(D;\mathbb{Q})\approx \mathbb{Q}^{\oplus 2}\oplus \mathbb{Q}G^{\oplus 2g-2}$ como representaciones de $G$ .
Prueba : Una representación $V$ de un grupo finito sobre un campo de característica 0 está determinado por su carácter la función $\chi_V(g)=\text{tr}(g|V)$ . Por lo tanto, basta con demostrar que el carácter $\chi_{H_1(D)}$ coincide con el carácter $2\chi_{\mathbb{Q}}+(2g-2)\chi_{\mathbb{Q}G}$ . Obsérvese que en la representación regular $\mathbb{Q}G$ todo lo que no sea trivial $g\in G$ permuta los elementos de la base libremente, por lo que tenemos $\chi_{\mathbb{Q}G}(g)=0$ para $g\neq 1$ (y $\chi_{\mathbb{Q}G}(1)=|G|$ ). El carácter $\chi_{\mathbb{Q}}$ de la representación trivial es sólo la función constante 1.
En primer lugar, el personaje $\chi_V(1)$ de la identidad es sólo la dimensión $\dim V$ . Si $h$ es el género de $D$ , la multiplicidad de la característica de Euler da $2-2h=|G|(2-2g)$ o $h=|G|(g-1)+1$ . En particular, tenemos $\chi_{H_1(D)}(1)=2h=|G|(2g-2)+2$ .
Ahora toma $g\neq 1\in G$ y considerar $g$ como un automorfismo de $D$ . Desde $g$ actúa trivialmente sobre $H_0(D)$ y $H_2(D)$ tenemos $$L(g)=1-\text{tr}(g|H_1(D))+1=2-\chi_{H_1(D)}(g).$$ Pero $G$ actúa libremente sobre $D$ Así que $g$ no tiene puntos fijos y el teorema del punto fijo de Lefschetz da $L(g)=0$ . Concluimos que $\chi_{H_1(D)}(g)=2$ para cada elemento no trivial $g\in G$ como se desee. Esto demuestra que $\chi_{H_1(D)}=2\chi_{\mathbb{Q}}+(2g-2)\chi_{\mathbb{Q}G}$ , lo que demuestra el teorema.
No es difícil extender este argumento para aplicarlo a las cubiertas ramificadas, ya que todavía se puede describir el número de Lefschetz de un automorfismo contando sus puntos de ramificación (y esto es lo que Chevalley-Weil realmente hizo).
