Deje $(f(x))^2$$(f(x))^3$$C^{\infty}$. Probar o refutar que $f$$C^{\infty}$.

Question

Supongamos $f(x), -\infty < x < +\infty$, es una función con valores reales tales que tanto $(f(x))^2$$(f(x))^3$$C^{\infty}$.

Debe $f$$C^{\infty}$?

Yo había visto este ejercicio en algún lugar de internet hace mucho tiempo, es muy preocupante para ejercicios de puesto de donde puedo bloquear completamente (y esto no es falta de tratar).

Alguien podía darme una forma de solucionarlo ?

Gracias.

Answer 1

Este es un muy buen problema. También ha sido preguntado sobre MO, donde se puede encontrar aquí. Es un caso particular de un teorema debido a Henri Joris, en

Henri Joris. Une $C^\infty$-aplicación de no-inmersiva qui possède la propriété universelle des inmersiones, Arq. De matemáticas. (Basilea), 39 (3), (1982), 269-277.

Su resultado es el siguiente:

Teorema. Si $f:\mathbb R\to\mathbb R$, $m,n$ son relativamente primos números naturales, y $f^m$$f^n$$C^\infty$, entonces también lo es $f$.

Para más accesible argumento (todavía un poco más de boceto de lo que sería lo ideal), ver

Robert Myers. Primaria prueba de Joris del teorema. Amer. De matemáticas. Mensual, 112 (9), (2005), 829-831.

Para el caso específico de $f^2$$f^3$, también hay un bonito reportaje de Tao, disponible aquí.

La idea de Myers de la prueba es simple, pero un poco de cuidado es necesario: Tenemos $f=f^3/f^2$ en el conjunto abierto $\{x\mid f(x)\ne0\}$, lo $f$ $C^\infty$ no, y no nos queda más que sostienen que la expresión se convierte en sentido apropiado en aquellos puntos donde $f(x)=0$, y es infinitamente diferenciable. Argumenta Myers por inducción en $n$ que $f^{(n)}$ existe y es continua en a $x$. Esto requiere un análisis de los casos, dependiendo de si el punto de $x$ es aislado o el límite de otros puntos. El segundo caso es fácil, y es esencialmente una aplicación del teorema de Rolle. El primer caso es más difícil, y Myers divide en dos subcases, dependiendo de si todos los derivados de $f^3$ se desvanecen en el punto de $x$. El caso en el que esto sucede se controla fácilmente, y nos hemos quedado con la otra posibilidad, que Myers ofertas de hoteles con habitaciones elegantemente a través de Taylor teorema aplicado a $f^3$.