La convergencia de primer relacionados con la serie

Question

Me preguntaba si la serie

$$\sum\limits_{n=1}^\infty\left(\frac n{p_n}\right)^k$$

converge para $k>1$ donde $p_n$ $n^\textrm{th}$ número primo?

Edit: Pensando sobre esto un poco más, se sabe que $p_n$ está delimitado por $p_n<n(ln(n)+ln(ln(n)))$ lo suficientemente grande como $n$, lo que significa que

$$\left(\frac n{p_n}\right)^k > \left(\frac 1{ln(n)+ln(ln(n))}\right)^k $$

para estos $n$ y ya

$$\sum\limits_{n=2}^\infty\frac 1{nln(n)}$$ diverges, does this imply the divergence of $$\sum\limits_{n=1}^\infty\left(\frac n{p_n}\right)^k$$ para cualquier $k$?

Answer 1

Desde $p_n \approx n \ln n$ y $\ln(x) \lt x^c$ para cualquier $c > 0$ y lo suficientemente grande como $x$,

$\begin{array}\\ \sum\limits_{n=1}^\infty\left(\frac n{p_n}\right)^k &\approx \sum\limits_{n=1}^\infty\left(\frac n{n\ln n}\right)^k\\ &= \sum\limits_{n=1}^\infty\left(\frac1{\ln n}\right)^k\\ &\gt \sum\limits_{n=1}^\infty\left(\frac1{n^c}\right)^k \qquad\text{for any } c > 0\\ &= \sum\limits_{n=1}^\infty\frac1{n^{ck}}\\ &= \sum\limits_{n=1}^\infty\frac1{n^{1/2}} \qquad\text{choose } c = \frac1{2k}\\ \text{Diverges}\\ \end{array} $